Nullstellensatz mit cosinus gegen unendlich?

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cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellensatz mit cosinus gegen unendlich?
Meine Frage:
Hallo,

folgende Aufgabe:
Man beweise, dass die Funktion
mindestens zwei Nullstellen und mindestens eine Nullstelle der Ableitung besitzt.

Meine Ideen:
Ich habe mir gedacht zu schauen was bei f(0) rauskommt:

Das Ergebnis ist f(0) = -8 < 0

Nun wollte ich prüfen wie sich die Funktion verhält, wenn ich sie gegen und "laufen lasse" verhält um zu sehen / beweisen, dass die x-Achse zweimal geschnitten wird (es also zwei Nullstellen gibt).

Mein Problem ist nun, dass ich -10*cos(x) gegen unendlich laufen lassen müsste, aber da kann ja entweder +1, oder -1 rauskommen, wie löse ich das Problem? Der Rechenweg gefällt mir eigentlich gut, wenn das cosinus nicht wär.
Gibt es eine Möglichkeit die Aufgabe mit meinem Rechenweg zu lösen, oder muss ich da anders vorgehen? Wenn ja, wie?

Ich bedanke mich schon mal!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist dir hoffentlich klar, dass es in dieser Aufgabe um den Zwischenwertsatz geht. Schau dir also mal noch die Funktionswerte an anderen Stellen an, so als Tipp , dann kannst du sogar nachweisen, dass diese Funktion unendlich viele Nullstellen hat.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, dass war mit nicht klar.

Muss ich dann den Mittelwertsatz anwenden, oder hat der bei dem Zwischenwertsatz nichts zu tun, bzw. wie mach ich das mit dem Zwischenwertsatz?

So ein Mist, meine Lösung hätte mir besser gefallen, da ich diese logischer finde und nicht genau weiß wie ich da jetzt weiter vorgehen muss.


Ich hab mir den Graphen mal mit einem Programm aufzeigen lassen, jetzt seh ich, dass die Funktion auf vom Punkt bis monoton steigend ist und eine Nullstelle hat.
Aber wie kommt man denn darauf ohne Programm???

Und vor allem müsste ich dann doch noch ein Intervall finden, um die (mindestens) zweite Nullstelle zu beweisen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cybersepp
Muss ich dann den Mittelwertsatz anwenden

Erst im zweiten Teil der Aufgabe, wenn es darum geht, die Existenz einer Nullstelle der Ableitung nachzuweisen. Genaugenommen reicht da auch der Satz von Rolle statt des MWS.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich rausgefunden, dass ich das mit dem Satz von Rolle die Existenz einer Nullstelle der Ableitung beweisen kann.

Aber wie beweise ich, dass es mindestens zwei Nullstellen gibt? Wie wende ich den Zwischenwertsatz an?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du für für die beiden Funktionswerte und weißt, dann bedeutet dies bei einer stetigen Funktion , dass es in diesem Intervall gemäß ZWS mindestens eine Nullstelle gibt.

Gleiches gilt im Fall und .
 
 
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, ok, danke, das hilft mir schon weiter!

Gibt es einen "Trick" nach dem ich die Werte prüfe?
Wenn ich pech haben könnte ich doch ständig an den sich an der x-Achse überschneidenden Intervallen "vorbei prüfen"?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dir ja ein paar Werte genannt, und die nicht ohne Grund: Es ist

für ,

während der Anteil für diesen Grenzübergang zwischen -10 und +10 oszilliert. Also liegt es doch nahe, die Extremstellen dieses letzten, oszillierenden Anteils mal näher unter die Lupe zu nehmen.
cybersepp Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit den Werten hätte ich es auch verstanden, aber ich wär von alleine nicht drauf gekommen warum genau die Werte. Aber die Erklärung, dass man sich die Extremstellen dieses letzten, oszillierenden Anteils, bzw. genauer anschauen muss, hab ich gebraucht. Dann werde ich mir das mal für die Zukunft merken: Der Term, der oszilliert, oder anderweitig sich "nicht nach Plan" verhält, genauer untersuchen!

Danke für die Hilfe! Super erklärt!
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