Dirac-Kamm

04.06.2011, 22:04

Markus B

Dirac-Kamm

Hallo,

ich komme aus der Nachrichtentechnik und wir hatten vor kurzem die Fouriertransformation des Dirac-Kamms:

Dieser ist ja definiert als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=-\infty }^\infty \delta(t-n*T) \end{eqnarray*}$

Das Fourierintegral lautet:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! \sum\limits_{n=-\infty }^\infty \delta(t-n*T) \cdot e^{-i\cdot 2 \cdot \pi \cdot f\cdot t}\, dt =\sum\limits_{n=-\infty }^\infty e^{-i\cdot 2 \cdot \pi \cdot f\cdot n\cdot T} \end{eqnarray*}$

jetzt haben wir aufgeschrieben, diese Summe ist:

Unendlich für T=0,+-1,+-2,.....
0 sonst.

Das ist das erste, was ich nicht verstehe. Wieso ist nur von T abhängig?

Dann geht es weiter:

$\begin{eqnarray*} =\frac 1 T \cdot \sum\limits_{n=-\infty }^\infty \delta(f-n\cdot \frac 1 T) \end{eqnarray*}$

Den Schritt verstehe ich auch nicht, was aber vermutlich daran liegt, da ich schon am vorherigen scheitere. Vielleicht kann mir eine von euch Mathematikern helfen. Ich schätze mal, ihr habt das ein wenig mehr drauf als ich. Danke schon mal.

04.06.2011, 23:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Markus B
jetzt haben wir aufgeschrieben, diese Summe ist:

Unendlich für T=0,+-1,+-2,.....

Korrektur: für fT=0,+-1,+-2,....

Zitat:

Original von Markus B
0 sonst.

Das hat ein Physiker geschrieben, was? Augenzwinkern

Mathematisch korrekt ist, dass für diese anderen Werte fT die Reihe ebenfalls nicht konvergiert, aber hier im Gegensatz zu dem ersten Fall zumindest die Partialsummen beschränkt bleiben.

05.06.2011, 10:11

Markus B

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Gut. Das f*T war der springende Punkt. da habe ich mich wohl beim abschreiben verguckt. Jetzt ergibt das ganz Sinn.

Also die Vorlesung wird von keinem Physiker gehalten. Aber von einem Nachrichtentechniker, was wahrscheinlich aufs gleiche hinausläuft :-).

Also für ganzzahlige fT ist ja der e-Ausdruck eins. Also die Summe unendlich. Nur kannst du kurz ohne mathematischen Nachweis anreißen, wie man sich das für die anderen fT vorzustellen hat? Da müsste man ja am besten real und Imaginärteil getrennt betrachten. Das sind ja jeweils überlagerte Winkelfunktionen. Werden die grob gesagt immer so überlagert, dass sie sich auslöschen?

Und dann bleibt halt noch der Schritt, wie man von der ersten Summe auf die zweite kommt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=-\infty }^\infty e^{-i\cdot 2 \cdot \pi \cdot f\cdot n\cdot T}=\frac 1 T \cdot \sum\limits_{n=-\infty }^\infty \delta(f-n\cdot \frac 1 T) \end{eqnarray*}$

Also das kann man ja jetzt bestimmt aus der Aussage unendlich für... ableiten. Die Dirac-Summe verstehe ich auch. Das sind quasi die Unendlich bei f=0,+-1/T,...

Aber wo kommt der Vorfaktor 1/T her?

05.06.2011, 11:05

HAL 9000

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Nun, ich habe im letzten Beitrag schon (indirekt) zu verstehen gegeben, dass ich diese Aussage für falsch halte, deswegen kann ich auch nichts zu ihrer Begründung sagen.

05.06.2011, 11:07

Markus B

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Hmm hast du denn zu dem Vorfaktor eine Idee?

05.06.2011, 11:33

HAL 9000

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Wahrscheinlich ist die Aussage im distributionentheoretischem Sinn sogar irgendwie richtig formulierbar, aber dafür nimmt sich außerhalb der Mathematik kaum jemand die Zeit. Deswegen habe ich auch keine Ahnung, wie das mit euren Mitteln und Methoden ordentlich begründbar sein soll. verwirrt

24.03.2013, 18:16

maxxam

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RE: Dirac-Kamm
Ein Dirac-Kamm ist eine periodische Distribution. Versuche, sie in einer Fourierreihe zu entwickeln, dann transformiere die Reihe.

Gruß Max

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Dirac-Kamm

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