Vertauschung von Integration und Summation

05.06.2011, 11:51	Patriot	Auf diesen Beitrag antworten »
Vertauschung von Integration und Summation Hallo, ich möchte die Vertauschung von Integration und Summation mittels majorisierter Konvergenz und eventuell getrennter Betrachtung von $\begin{eqnarray} \int_0^1 \ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \ \end{eqnarray}$ begründen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \int_0^\infty \! t^{s/2} e^{-\pi n^{2}t} \, \frac{dt}{t} = \int_0^\infty \! t^{s/2} (\sum\limits_{n=1}^\infty e^{-\pi n^{2}t}) \, \frac{dt}{t} \end{eqnarray}$ , wobei s komplex ist mit Re(s) > 1. Ich weiß nicht mit was ich diese Exponentialreihe die der Theta-Reihe ähnelt majorisieren soll. Ich danke im voraus für eure Hilfe. gruß, Patriot
05.06.2011, 13:05	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Verwende lieber monotone Konvergenz bei so viel Nichtnegativität. Gruss
08.06.2011, 16:15	Patriot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Satz von der monotonen Konvergenz würde zwar greifen, aber ich habe im Integral keine reellwertige, sondern eine komplexwertige Funktion, da das s komplex ist mit Re(s) > 1. Wie soll ich dann monotone Konvergenz anwenden wenn meine Funktionenfolge gar nicht nach IR geht? Gruss
09.06.2011, 10:11	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du einen Punkt, ja. So ganz ohne weiteres kann man die monotone Konvergenz nicht anwenden: Allerdings hat man für alle N $\begin{eqnarray} \left\|\sum_{n=1}^N t^{s/2-1} e^{-\pi n^2 t} \right\| \le t^{\Re(s)/2-1} \sum_{n = 1}^\infty e^{-\pi n^2 t} =: g_s(t) \end{eqnarray}$ Also reicht es zu zeigen, dass die rechte Seite integrierbar, bzw. $\begin{eqnarray} g_s(t) \in L^1(\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist. Hier kommt nun der grosse Auftritt der monotonen Konvergenz: Denn es gilt $\begin{eqnarray} \int_0^\infty g_s(t) \, dt = \sum_{n=1}^\infty \int_0^\infty t^{\Re(s)/2-1} e^{-\pi n^2 t} \, dt \end{eqnarray}$ (unabhängig davon, ob $\begin{eqnarray} g_s \in L^1 \end{eqnarray}$ ) Die einzelnen Komponenten der Reihe auf der rechten Seite sind nun nicht so schwer abzuschätzen: Splitte das Integral auf in $\begin{eqnarray} \int_0^1+\int_1^\infty \end{eqnarray}$ und zeige, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n =1}^\infty \int_0^1 t^{-1/2} e^{-\pi n^2 t}\, dt \end{eqnarray}$ konvergiert, sowie die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty \int_1^\infty t^m e^{-\pi n^2 t} \, dt \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ konvergiert. (für natürliche m wird das Abschätzen ein bisschen schöner und wegen $\begin{eqnarray} t^{\Re(s)} \le t^{\lceil \Re(s) \rceil} \end{eqnarray}$ ist die Beschränkung darauf ohne Einschränkung der Allgemeinheit) Gruss

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