Konvergenzaufgabe gelöst

12.12.2006, 18:48	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzaufgabe gelöst 3.Aufgabe: Zeigen Sie(ohne den Satz von der monotonen Konvergenz zu benutzen): Ist die Folge (xn) monoton fallend und nach unten beschränkt, so konvergiert (xn) und es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} x_n = inf(x_n) \end{eqnarray}$ Wär prima wenn mir jmd die Aufgabe zeigen könnte wie sie geht. Vielen Dank im Vorraus! Grüße
12.12.2006, 19:12	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die ersten beiden Aufgaben machst du bitte mal einen neuen Thread in Algebra auf und löschst sie danach hier. Zur dritten Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig und $\begin{eqnarray} x:=\inf (x_n) \end{eqnarray}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für das Folgenglied $\begin{eqnarray} x_{n_0} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x\leq x_{n_0}<x+\varepsilon \end{eqnarray}$ (warum?). Nun brauchst du die Monotonie. Gruß MSS
12.12.2006, 19:44	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil x größte untere Schranke ist (inf) muss dies gelten. Weis aber irgendwie nicht so richtig weiter... Wir hatten folgenden ähnlichen Fall wie folgt in der Vorlesung behandelt: Satz: Montone beschränkte Folgen sind konvergent Hier war die Annahme {an} monoton steigend Vor.: Nach Vor ist {an} beschränkt und hat ein Supremum a=sup({an}). Bew.: Nach Eigenschaft des Supremums: Für jedes Epsilon > 0 $\begin{eqnarray} \exists n0 : \|an - an\| < Epsilon \end{eqnarray}$ falls n > oder = n0 ! Weil {an} monoton wachsend ist => $\begin{eqnarray} a_n \geq an0 \end{eqnarray}$ falls n > oder = n0 ! => \| a - an \| < Epsilon falls n > oder = n0 . d.h. man wählt N=no dann gilt \|a-an\|<Epsilon falls n > oder = N ! wenn ich jetzt von inf ausgegangen wird kann ich irgendwie die Eig. nicht so schön verwerten find ich wie beim Supremum ...
12.12.2006, 19:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Komischer Beweis, genau genommen ist der falsch. Da $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ das Infimum ist, gibt es ein $\begin{eqnarray} x_{n_0} \end{eqnarray}$ , sodass gilt: $\begin{eqnarray} x\leq x_{n_0}<x+\varepsilon \end{eqnarray}$ . Für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ gilt wegen der Monotonie: $\begin{eqnarray} x_n\leq x_{n_0} \end{eqnarray}$ . Außerdem gilt natürlich $\begin{eqnarray} x\leq x_n \end{eqnarray}$ . Was folgt jetzt daraus? Gruß MSS
12.12.2006, 20:16	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
xn-x<Epsilon ?
12.12.2006, 21:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Und natürlich $\begin{eqnarray} x_n-x\geq 0 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|x_n-x\|=x_n-x<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
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12.12.2006, 21:53	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
prima danke!

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