Varianz zweier stetig gleichverteilter Zufallsvariablen

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flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz zweier stetig gleichverteilter Zufallsvariablen
Meine Frage:
Hallo,

ich bin zum ersten Mal dabei, eine Frage online zu posten, aber ich brauche hier dringend Hilfe.

Es gibt zwei unabhängige, auf [0,1] stetig gleichverteilte Zufallsvariablen U und V.
Es sei X= 0.5U + 0.5V
und Y= 0.5U - 0.5V.

Jetzt sollen der Erwartungswert von X und die Varianz von Y ausgerechnet werden.


Meine Ideen:

Die Formel von der stetigen Gleichverteilung sind mir bekannt, also E(X) = (a+b)/2 und Var(X) = (b-a)²/12....

Da hier aber die Funktionen von X und Y mit angegeben haben, blick ich vor allem bei der Varianz nicht durch, wie das berechnet wird.

Lösungen wären bei E(X) = 0.5 ( Denn (0+1)/2 )
und bei Varianz ist mir nur ein Lösungsintervall angegeben: (0, 1/24].

Hoffe jemand kann mir die einzelnen Schritte erklären... Danke schon mal.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Varianz zweier stetig gleichverteilter Zufallsvariablen
Zitat:
Original von flower_bird
Meine Frage:
Hallo,

ich bin zum ersten Mal dabei, eine Frage online zu posten, aber ich brauche hier dringend Hilfe.

Es gibt zwei unabhängige, auf [0,1] stetig gleichverteilte Zufallsvariablen U und V.
Es sei X= 0.5U + 0.5V
und Y= 0.5U - 0.5V.

Jetzt sollen der Erwartungswert von X und die Varianz von Y ausgerechnet werden.
Die Lösung stimmt so leider nicht.

Bestimme erstmal Erwartungswert und Varianz von U und V
Dann verwende die Linearität des Erwartungswertes und die Formel von Bienaymée.
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

E(X)=E(Y)=0.5
Var(X)=VAR(Y)= 1/12

oder stimmt das so nicht?

und wie gehts weiter?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
E(X)=E(Y)=0.5
Var(X)=VAR(Y)= 1/12
Das ist richtig

Zitat:
Original von flower_bird
und wie gehts weiter?
Siehe oben
Zitat:

Dann verwende die Linearität des Erwartungswertes und die Formel von Bienaymée.
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich versuche grad rauszufinden wie das angewendet wird, aber ich bin ahnungslos...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
ja ich versuche grad rauszufinden wie das angewendet wird, aber ich bin ahnungslos...
Dann poste mal die Linearitätseigenschaft und besagte Formel
 
 
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Bienaymé -Formel:

Var(Summe Xi von i=1 bis n) = Summe von (var(Xi)

und Linearität heißt soviel wie:

E(X) = E( c*Y +d) mit c, d Element R
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
Bienaymé -Formel:

Var(Summe Xi von i=1 bis n) = Summe von (var(Xi)
ja, und das kannst du nun anwenden auf

Zitat:
Original von flower_bird
und Linearität heißt soviel wie:

E(X) = E( c*Y +d) mit c, d Element R
Nicht ganz, aber was heisst das hier für
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
E(X)=E(Y)=0.5
Var(X)=VAR(Y)= 1/12


Ich komme durcheinander, weil hier die Zufallsvariablen ja U und V und nicht X und Y sind.

Müsste es nicht eigentlich heißen:

E(U)=E(V)=0.5
Var(U)=Var(V)= 1/12 ???

und ich komme trotz den formeln nicht auf die rechenschritte um die Varianz von Y und den Erwartungswert von X auszurechnen...
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
Zitat:
Original von flower_bird
E(X)=E(Y)=0.5
Var(X)=VAR(Y)= 1/12


Ich komme durcheinander, weil hier die Zufallsvariablen ja U und V und nicht X und Y sind.
Ja, und? Du kannst die nennen wie du willst, der Name einer Variablen ist egal

EDIT:
Zitat:
Müsste es nicht eigentlich heißen:

E(U)=E(V)=0.5
Var(U)=Var(V)= 1/12 ???
Ja, das hatte ich oben übersehen

Zitat:
Original von flower_bird

und ich komme trotz den formeln nicht auf die rechenschritte um die Varianz von Y und den Erwartungswert von X auszurechnen...


flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur sicher gehen, dass dann in deinen Formeln die Variablen auf meine Aufgabe bezogen richtig sind, dass das allgemein egal ist, wie eine Variable heißt, is ja klar....

Also danke für deine Hilfe, hier kann ich ja dann auch noch anwenden:

Var(Y) = Var(0.5U) - Var(0.5V) = 0.5² * Var(U) - 0.5² * Var(V) oder?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flower_bird
Var(Y) = Var(0.5U) - Var(0.5V) = 0.5² * Var(U) - 0.5² * Var(V) oder?
Ja
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre dann Var(Y) = 0 und Var(X) = 1/4 richtig?

Dankeschön, bin halt ein Anfänger und nicht unbedingt ein Matheliebhaber :-)
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig wäre natürlich Var(x) = 1/24...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von flower_bird
Var(Y) = Var(0.5U) - Var(0.5V) = 0.5² * Var(U) - 0.5² * Var(V) oder?

Ja

Nein: Richtig ist

Var(Y) = Var(0.5U) + Var(-0.5V) = 0.5² * Var(U) + (-0.5)² * Var(V)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Nein: Richtig ist

Var(Y) = Var(0.5U) + Var(-0.5V) = 0.5² * Var(U) + (-0.5)² * Var(V)
Oh ja, so hat es auch einen Sinn smile Danke!
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von flower_bird
Var(Y) = Var(0.5U) - Var(0.5V) = 0.5² * Var(U) - 0.5² * Var(V) oder?

Ja

Nein: Richtig ist

Var(Y) = Var(0.5U) + Var(-0.5V) = 0.5² * Var(U) + (-0.5)² * Var(V)


Warum denn Var(-0.5V) ??
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An sich will ich mich nicht mehr einmischen, als unbedingt nötig, denn m.E. macht Math1986 seine Sache sehr gut. Aber da er momentan nicht dazusein scheint, nur soviel: Es ist

.

Und es gibt nun mal die Regel Var(A+B) = Var(A) + Var(B) für unabhängige Zufallsgrößen A,B.

Etwas scheinbar analoges wie Var(A-B) = Var(A) - Var(B) für diese unabhängigen Zufallsgrößen A,B ist hingegen i.a. falsch.


Nun bitte ich dich aber, wieder auf Math1986 zu warten.
flower_bird Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke :-) das reicht mir ja schon, wenn das einfach die regel ist, werd ichs mir merken :-)
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