Normierter Vektorraum, Skalarprodukt, Parallelogrammidentität

05.06.2011, 17:04

steviehawk

Normierter Vektorraum, Skalarprodukt, Parallelogrammidentität

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Ist V ein normierter Raum, ausgestattet mit ||.|| so existiert ein Skalarprodukt <.,.> auf V, dass die Norm induziert, genau dann wenn die Parallelogrammidentität gilt.

Meine Ideen:
Okay also ich geh erst davon aus, dass es das Skalarprodukt gibt, dass die Norm induziert und schließe daraus, dass die Paralleogrammidentität folgt:

Norm: $\begin{eqnarray*} ||v|| := \sqrt[]{<v,v>} \end{eqnarray*}$ Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} <v,v> = v^Tv = v_1v_1 + ... + v_nv_n \end{eqnarray*}$

So wenn ich nun einsetze:

$\begin{eqnarray*} ||u+v||^2 + ||u-v||^2 \end{eqnarray*}$ dann bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} <u+v,u+v> + <u-v,u-v> \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt einfach mit der Definition des Skalarprodukts arbeite und alles "aufdrösel", dann sieht man schon das die Parallelogrammidentität folgt.

Stimmt der Weg?

06.06.2011, 16:36

Reksilat

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RE: Normierter Vektorraum, Skalarprodukt, Parallelogrammidentität
Ja, Dein Ansatz stimmt. smile

Allerdings ist das hier weniger korrekt:

Zitat:

Skalarprodukt: $\begin{eqnarray*} <v,v> = v^Tv = v_1v_1 + ... + v_nv_n \end{eqnarray*}$

Über das Skalarprodukt ist nichts weiter gegeben. Dass $\begin{eqnarray*} \langle v,v\rangle \end{eqnarray*}$ diese Form hat, kannst Du nicht voraussetzen.
Wird hier aber auch nicht benötigt.

Gruß,
Reksilat.

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