2 Aufgaben |
12.12.2006, 19:31 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 Aufgaben Seien a, b Elemente der ganzen Zahlen Z, und b ungleich 0. Ich soll zeigen: Es existieren q Element Z und r Element Z , |r|<|b| , so dass a = qb + r 2.Aufgabe: Zeigen Sie, dass kein x Element Q existiert, so dass x^2 = 3. (Ich mein es ist klar das Wurzel 3 nicht in Q liegt nur wie zeig ich das jetzt formal schön?) wär schön wenn jmd. zeigen könnte wie die beiden gehen... |
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12.12.2006, 19:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Zu 1.: Versuche es mal mit . 2.: Nimm an, es gäbe einen gekürzten Bruch mit , sodass wäre. Dann folgt . Was gilt dann für ? Gruß MSS |
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12.12.2006, 19:44 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei Existenzbeweisen ist es immer schön wenn man die Sachen konstruieren kann. So zur Erklärung: q ist die Zahl die angibt wie oft b in a "reinpasst" ohne das a größer/kleiner (abhängig vom Vorzeichen) ist. Also etwa a = 4, b =2 , dann ist q = 2 a = -4, b = 2, dann ist q = -2 r gibt dir dann den Rest an der nicht mehr reinpasst also etwa a = 5 b = 2 => q =2 r = 1 a = -5 b = 2 => q = -2 r = -1 Ich hoffe mal das reicht dir schon, ansonsten mal die Stichworte: Divisionsanteil und Divisionsrest. zu Deiner b) kennst Du den Beweis das Wurzel aus 2 nicht rational ist? So ähnlich geht das hier, man kann sogar allgemeiner zeigen das die Wurzel aus einer natürlichen Zahl entweder ganzzahlig oder irrational ist. Die Idee ist hier ein Widerspruchsbeweis: Du nimmst an es existieren ganze Zahlen p,q mit Man nimmt noch an das p und q Teilerfremd sind (das geht immer) und führt dann den Widerspruchsbeweis. |
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12.12.2006, 19:47 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu 2.) q ist vielfaches von von p und das wär ein wiederspruch zu teilerfremd(gekürzter Bruch)? zu 1.) hilft mir leider nicht weiter |
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12.12.2006, 19:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu 1.: Nimm noch und zeige, dass dann die Bedingungen erfüllt sind. 2.: So direkt noch nicht. Wenn durch drei teilbar ist, was gilt denn dann für bzgl. der Teilbarkeit durch ? Gruß MSS |
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12.12.2006, 20:15 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja p muss dann durch wurzel 3 teilbar sein |
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12.12.2006, 20:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beispiel 6² ist durch 3 Teilbar, was ist dann mit 6? |
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12.12.2006, 20:42 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
durch 3 teilbar?! |
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12.12.2006, 20:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Teilbarkeit ist doch hier nur für ganze Zahlen definiert! Also muss auch durch teilbar sein. (Das könntest du natürlich noch beweisen ...) Da durch teilbar ist, gibt es eine Zahl mit . Setz das mal in die Gleichung von oben ein. Gruß MSS |
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12.12.2006, 22:02 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
9a² = 3q² und damit nicht teilerfremd? |
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12.12.2006, 22:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier beißt sich wohl die Katze in den Schwanz. Ich denke, der Beweis soll auf elementarem Niveau im Ring geführt werden und nicht Kenntnisse über voraussetzen, die die Aussage natürlich als Trivialität erscheinen lassen. Denn letztlich kann der Quotientenkörper aus erst dann konstruiert werden, wenn Aussagen wie die hier zu zeigende über die Existenz der Division mit Rest nachgewiesen sind. Man wird wohl einen Induktionsbeweis über führen müssen. Die Variablen im Folgenden stehen für Elemente von . Für ist die Aussage klar (man wähle ). Jetzt nimmt man an, die Aussage sei für alle mit bereits bewiesen. Ist nun , so nehme man und , und alle Bedingungen der Aussage sind erfüllt. Ist dagegen , so wähle man in das Vorzeichen von so, daß gilt (das geht wegen ). Nach Induktionsannahme gibt es und mit Jetzt muß man das nur noch in einsetzen und findet damit das noch fehlende . Man kann sich den Beweis auch so vorstellen, daß - ich nehme einmal an - so lange von abgezogen wird, bis der verbleibende Rest kleiner als ist. |
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12.12.2006, 22:43 | RedSunset | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah prima Leopold Ablauf ist nun klar,aber was muss ich dann am Schluss noch wo einsetzen? |
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12.12.2006, 23:00 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Jo, ist mir im Nachhinein auch eingefallen. Gruß MSS |
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