2 Aufgaben

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RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »
2 Aufgaben
1.Aufgabe:
Seien a, b Elemente der ganzen Zahlen Z, und b ungleich 0.
Ich soll zeigen:
Es existieren q Element Z und r Element Z , |r|<|b| , so dass a = qb + r

2.Aufgabe:
Zeigen Sie, dass kein x Element Q existiert, so dass x^2 = 3.
(Ich mein es ist klar das Wurzel 3 nicht in Q liegt nur wie zeig ich das jetzt formal schön?)

wär schön wenn jmd. zeigen könnte wie die beiden gehen...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Zu 1.: Versuche es mal mit .

2.: Nimm an, es gäbe einen gekürzten Bruch mit , sodass wäre. Dann folgt . Was gilt dann für ?

Gruß MSS
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Existenzbeweisen ist es immer schön wenn man die Sachen konstruieren kann. So zur Erklärung:

q ist die Zahl die angibt wie oft b in a "reinpasst" ohne das a größer/kleiner (abhängig vom Vorzeichen) ist. Also etwa

a = 4, b =2 , dann ist q = 2
a = -4, b = 2, dann ist q = -2

r gibt dir dann den Rest an der nicht mehr reinpasst also etwa

a = 5 b = 2 => q =2 r = 1
a = -5 b = 2 => q = -2 r = -1

Ich hoffe mal das reicht dir schon, ansonsten mal die Stichworte: Divisionsanteil und Divisionsrest.

zu Deiner b)

kennst Du den Beweis das Wurzel aus 2 nicht rational ist? So ähnlich geht das hier, man kann sogar allgemeiner zeigen das die Wurzel aus einer natürlichen Zahl entweder ganzzahlig oder irrational ist. Die Idee ist hier ein Widerspruchsbeweis: Du nimmst an es existieren ganze Zahlen p,q mit



Man nimmt noch an das p und q Teilerfremd sind (das geht immer) und führt dann den Widerspruchsbeweis.
RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2.) q ist vielfaches von von p und das wär ein wiederspruch zu teilerfremd(gekürzter Bruch)?

zu 1.) hilft mir leider nicht weiter unglücklich
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.: Nimm noch und zeige, dass dann die Bedingungen erfüllt sind.
2.: So direkt noch nicht. Wenn durch drei teilbar ist, was gilt denn dann für bzgl. der Teilbarkeit durch ?

Gruß MSS
RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »

naja p muss dann durch wurzel 3 teilbar sein
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Beispiel

6² ist durch 3 Teilbar, was ist dann mit 6?
RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »

durch 3 teilbar?!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Teilbarkeit ist doch hier nur für ganze Zahlen definiert! Also muss auch durch teilbar sein. (Das könntest du natürlich noch beweisen ...)
Da durch teilbar ist, gibt es eine Zahl mit . Setz das mal in die Gleichung von oben ein.

Gruß MSS
RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »

9a² = 3q²

und damit nicht teilerfremd?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zu 1.: Versuche es mal mit .


Hier beißt sich wohl die Katze in den Schwanz. Ich denke, der Beweis soll auf elementarem Niveau im Ring geführt werden und nicht Kenntnisse über voraussetzen, die die Aussage natürlich als Trivialität erscheinen lassen. Denn letztlich kann der Quotientenkörper aus erst dann konstruiert werden, wenn Aussagen wie die hier zu zeigende über die Existenz der Division mit Rest nachgewiesen sind.

Man wird wohl einen Induktionsbeweis über führen müssen. Die Variablen im Folgenden stehen für Elemente von .


Für ist die Aussage klar (man wähle ).
Jetzt nimmt man an, die Aussage sei für alle mit bereits bewiesen.

Ist nun , so nehme man und , und alle Bedingungen der Aussage sind erfüllt.
Ist dagegen , so wähle man in das Vorzeichen von so, daß gilt (das geht wegen ). Nach Induktionsannahme gibt es und mit



Jetzt muß man das nur noch in einsetzen und findet damit das noch fehlende .

Man kann sich den Beweis auch so vorstellen, daß - ich nehme einmal an - so lange von abgezogen wird, bis der verbleibende Rest kleiner als ist.
RedSunset Auf diesen Beitrag antworten »

ah prima Leopold
Ablauf ist nun klar,aber was muss ich dann am Schluss noch wo einsetzen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Jo, ist mir im Nachhinein auch eingefallen.

Gruß MSS
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