Stetigkeit von Nullstellenfunktionen

12.12.2006, 19:44	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von Nullstellenfunktionen So, ich steh mal wieder vor einem neuen Problem: Es sei $\begin{eqnarray} f(a_{0},a_{2},...,a_{n-1}) = y \end{eqnarray}$ , wenn gilt $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^n~ a_{i}y^{i} = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{n}=1 \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} a_{i}, y \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} y = f(a_{0},a_{1},...,a_{n-1}) \end{eqnarray}$ besteht ja laut dem Fundamentalsatz der Algebra aus n mehrdimensionalen Teilkurven. Nun möchte ich beweisen, dass jede Teilfunktion von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ stetig ist. Wie definiere ich Stetigkeit bei mehrdimensionalen Kurven? EDIT: Der Bijektionsbeweis und der Stetigkeitsbeweis haben nichts miteinander zu tun. Beim Bijektionsbeweis wollte ich einfach nur fragen, ob er richtig ist. EDIT II: So, ich hab soeben festgestellt, dass die Bijektion gar nicht sein kann. Sry für die falsche Fährte.
12.12.2006, 20:11	Menelaos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau lautet denn der Satz von Cantor-Schröder-Bernstein?
12.12.2006, 20:14	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es von einer Menge in eine andere eine eine Injektion gibt und umgekehrt, dann gibt es eine Bijektion zwischen beiden Mengen.
12.12.2006, 20:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Stetigkeit in höherdimensionalen Räumen zu definieren bedarf es einiger Topologie. So wie ich das sehe ist deine Funktion auf $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{n} \times \mathbb{C} \end{eqnarray}$ definiert. Wenn Du jetzt noch Metriken $\begin{eqnarray} d_1,d_2 \end{eqnarray}$ auf den beiden Vektorräumen hast kannst Du die stetigkeit wie folgt definieren: f ist stetig genau dann: wenn es zu jedem $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{C}^{n} \end{eqnarray}$ und jedem Epsilon > 0 ein delta > 0 mit $\begin{eqnarray} d_2(f(x),f(x_0)) < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{C}^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d_1(x,x_0) < \delta \end{eqnarray}$ gibt. Du könntest auch das Folgenkriterium nehmen da es sich um Hausdorffräume handelt, also f ist stetig in x wenn für alle gegen x konvergenten Folgen $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ gilt das: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(x) \end{eqnarray}$
12.12.2006, 21:09	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, danke, das muss ich jetzt erstmal genauer verdauen.

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