Umkehrfunktion bestimmen

05.06.2011, 21:51

cybersepp

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Umkehrfunktion bestimmen

Meine Frage:
Es soll die Umkehrfunktion explizit angegeben werden von folgender Funktion:

$\begin{eqnarray*} cosh(x) = \frac{e^x + e^-x}{2} \end{eqnarray*}$

Irgendwie komm ich mit Umkehrfunktionen (noch) nicht klar.

Wie folgt bin ich vorgegangen:

Ich setzte cosh(x) = y ->

$\begin{eqnarray*} y = \frac{e^x + e^-x}{2} \end{eqnarray*}$

Dann vertausche ich die Variablen:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{e^y + e^-y}{2} \end{eqnarray*}$

Dann ziehe ich die 2 rüber:

$\begin{eqnarray*} 2*x = e^y + e^-y \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Und jetzt beginnt mein Problem. Ziel ist es doch, nun nach y umzustellen, aber irgendwie bekomm ich das nicht hin.

Meine Idee wäre:
$\begin{eqnarray*} ln(2*x) = y + -y \end{eqnarray*}$

aber dann fällt doch das y weg!? hmmm. Kann mir da wer weiter helfen?

Danke!

05.06.2011, 22:55

mYthos

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Fehler! Eine Summe (od. Differenz) ist NICHT logarithmierbar!
______________

Du musst die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} e^y \end{eqnarray*}$ auflösen! Oder setze $\begin{eqnarray*} e^y = z \end{eqnarray*}$ (Substitution) , damit ergibt sich eine quadratische Gleichung in z. Aus z wieder nach y zurückrechnen.

Hinweis: --> AreaCosHyperbolicus

mY+

05.06.2011, 23:42

cybersepp

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Zitat:

Fehler! Eine Summe (od. Differenz) ist NICHT logarithmierbar!

danke, dass merk ich mir dann mal!

Danke auch für den Hinweis. Als Ergebnis kommt der AreaCosHyperbolicus raus, aber wie komme ich auf den?

Wenn ich nach $\begin{eqnarray*} e^y \end{eqnarray*}$ umstellt, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} e^y = 2x - e^-y \end{eqnarray*}$

wie komme ich von dem aber zu y?

05.06.2011, 23:47

mYthos

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Die Substitution steht oben!

Wenn $\begin{eqnarray*} e^y = z \end{eqnarray*}$ ist, was ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-y} \end{eqnarray*}$

mY+

05.06.2011, 23:52

cybersepp

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dann ist $\begin{eqnarray*} e^{-y} = \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ !?....ich probier mal damit weiter zu rechnen...

05.06.2011, 23:54

cybersepp

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$\begin{eqnarray*} z = 2x - \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z + \frac{1}{z} = 2x \end{eqnarray*}$

ich hoffe es liegt nur an der Uhrzeit, aber irgendwie komm ich da nicht weiter...

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06.06.2011, 00:00

Huy

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Wenn du mit z multiplizierst, erhältst du eine quadratische Gleichung...

MfG

06.06.2011, 00:10

cybersepp

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also:

$\begin{eqnarray*} z^2 + 1 - 2xz = 0 \end{eqnarray*}$

... stimmt das so?? Übersehe ich nun eine Binomische Formel??

06.06.2011, 00:14

Huy

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Wie würdest du $\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0 \end{eqnarray*}$ nach x auflösen?

MfG

06.06.2011, 00:26

cybersepp

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Mitternachtsformel.... Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1} = 2x - 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2} = -2 \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtgen Weg?

Setzte ich nun für z wieder $\begin{eqnarray*} e^{y} \end{eqnarray*}$ ein? Dann hätte ich aber zwei Ergebnisse, ist auch nicht Sinn der Sache, oder kann das sein?

07.06.2011, 16:52

mYthos

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Die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 4x^2 - 4 \end{eqnarray*}$ ist ganz sicher NICHT $\begin{eqnarray*} 2x - 2 \end{eqnarray*}$ (!)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2 \pm b^2} \neq a \pm b \end{eqnarray*}$

Und auch

$\begin{eqnarray*} (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

mY+

07.06.2011, 18:11

cybersepp

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richtig, böser Fehler von mir!

Dann würde ich rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4} }{2} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = \frac{x \pm \sqrt{4x^2 - 4} }{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = x + \sqrt{4x^2 - 4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 = x - \sqrt{4x^2 - 4} \end{eqnarray*}$

aber wo führt mich das hin?

07.06.2011, 19:36

mYthos

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Wieder falsch, weil Fehler beim Kürzen! Aus Differenzen und Summen, kürzen nur die Du ... Big Laugh

Big Laugh

Letztendlich musst du dann mit dem Term von z wieder in die Substitution zurückgehen, um nach x umzustellen (--> ln !)

mY+

07.06.2011, 19:52

cybersepp

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ohje, ohje, was ist denn heute mit mir los...

07.06.2011, 19:58

mYthos

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Du kannst aus dem Zähler 2 ausklammern (und das bedeutet daher aus der Wurzel den Faktor 4) und danach durch 2 kürzen, sodass du keinen Bruch mehr hast.

mY+

07.06.2011, 20:31

cybersepp

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Halleluja, das war eine schwere Geburt, Danke!!!

Dann komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} e^y = x + \sqrt{x^2 - 1} \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} y = ln (x + \sqrt{x^2 - 1}) \end{eqnarray*}$

Danke für die Geduld!!

07.06.2011, 20:54

mYthos

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Die quadratische Gleichung hat allerdings zwei Lösungen. Wie geht man damit um?
Letztendlich ist dann das Produkt der Argumente der beiden Logarithmusfunktionen 1.

mY+

14.06.2011, 10:23

cybersepp

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ich sehe jetzt erst, dass ich die Aufgabe nicht ordentlich zu Ende gemacht hab. Das hole ich jetzt mal nach:

$\begin{eqnarray*} y = ln (x \pm \sqrt{x^2 - 1}) \end{eqnarray*}$

da aber:

$\begin{eqnarray*} y = ln (x - \sqrt{x^2 - 1}) \end{eqnarray*}$ nicht für den gesamten Wertebereich definiert ist, kommt somit nur $\begin{eqnarray*} y = ln (x + \sqrt{x^2 - 1}) \end{eqnarray*}$ in Frage

14.06.2011, 11:48

mYthos

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Es gibt zwei (getrennte) Umkehrfunktionen, beide (entweder - oder !) sind also gültig.

Der Definitionsbereich ist bei beiden Funktionen derselbe. Das sieht man zwar nicht gleich, deswegen muss man erst ein wenig umformen, bis zu erkennen ist, dass das Produkt der Argumente der beiden Logarithmusfunktionen gleich 1 ist. Somit sind beide Umkehrfunktionen zueinander symmetrisch zur x-Achse [ ln(f1(x)) = - ln(f2(x)) ].

Blau: Ursprüngliche Funktion cosh(x)
Rot/Grün: Umkehrfunktionen f1, f2

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