tatsächlicher abstand zweier flugzeuge

05.06.2011, 22:13

DrHubert

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tatsächlicher abstand zweier flugzeuge

Meine Frage:
Ich hab da mal eine Frage.

Und zwar habe ich in einer Aufgabe zwei flugzeuge, deren routen windschief sind.

den kleinsten abstand der flugrouten habe ich bereits berechnet, wollte aber auch wissen wie ich den tatsächlichen kleinsten abstand der flugzeuge berechnen kann.

die geradengleichungen:

flugzeug AB: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 26 \\ 8 \end{pmatrix}+ r\times \begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

flugzeug LH: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} + s\times \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die geschwindigkeit der flugzeuge ist AB: 430 km/h und LH: 800km/h

die LE entsprechen km.

dazu wollte ich jetzt also den kleinsten tatsächlichen abstand errechnen, kam aber nicht weiter.
der abstand der flogrouten beträgt: 1,098 km

Meine Ideen:
ich habe mich natürlich auch selbst informiert, aber konnte dieses beispiel hier nicht verstehen: http://teacher.eduhi.at/alindner/Sites/math/matura/schriftliche_Matura_2010_NB.pdf (aufgabe 3b)).

hoffe ihr könnt mir helfen smile

smile

05.06.2011, 22:46

Bjoern1982

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Beziehen wir uns von mir aus zunächst mal auf das Beispiel in dem verlinkten pdf.
Was genau verstehst du da nicht ?

05.06.2011, 22:53

DrHubert

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es fängt damit an, wie die funktion aufgestellt ist...

$\begin{eqnarray*} f1:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ 220t\times \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{121}} \end{eqnarray*}$

was hat das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{121}} \end{eqnarray*}$ da zu suchen Hammer

Hammer

un bei der anderen funktion das : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{25}} \end{eqnarray*}$ ??

05.06.2011, 23:08

Bjoern1982

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Damit werden die Flugrouten auf die jeweiligen Geschwindigkeiten angepasst.
Zuerst wird der Richtungsvektor normiert, also durch seine Länge dividiert, und damit auf die Länge 1 gestutzt.
Die Geschwindigkeit als Faktor sichert dann, dass man nach t Stunden auch wirklich vom jeweiligen Startpunkt aus genau auf dem passenden Punkt der Geraden landet.

05.06.2011, 23:17

DrHubert

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ach so! danke Mit Zunge

Mit Zunge

ich rechne dann also mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{184} } \end{eqnarray*}$ für die gerade AB

und mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{32} } \end{eqnarray*}$ für die gerade LH, richtig?

05.06.2011, 23:22

Bjoern1982

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Ja genau, das würde die Richtungsvektoren schonmal auf die Länge 1 bringen.
Leider ist es durch diese Werte nicht besonders schön damit zu rechnen, da man die Wurzeln hier nicht "glatt" ziehen kann.

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05.06.2011, 23:29

DrHubert

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und wie kommt man dann auf: d’’(0,009) ≈ 80342 > 0

also auf die 80342?
man gibt doch die 0,009 in die zweite ableitung rein oder ?
wenn ich das aber mache kommt da 4461,41 raus verwirrt

verwirrt

05.06.2011, 23:34

Bjoern1982

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Dann hast du dich entweder vertippt oder da ist ein Fehler in der Lösung (habe es jetzt nicht nachgerechnet).
Man kann den ganzen Wurzelkram ürbigens auch getrost vermeiden, indem man die Abstandsfunktion d(t) direkt quadriert, denn damit werden sich hier nicht die Extremstellen verändern.

05.06.2011, 23:41

DrHubert

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Man kann den ganzen Wurzelkram ürbigens auch getrost vermeiden, indem man die Abstandsfunktion d(t) direkt quadriert

öhhh.. könntest du mir das nochmal anhand de beispieles erklären? Gott

Gott

05.06.2011, 23:49

Bjoern1982

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d(t) gibt ja nichts anderes an, als die allgemeine Entfernung zweiter Punkte der Geraden f1 und f2 zum Zeitpunkt t.
Da ja die kürzeste, also minimale Entfernung gesucht ist, sucht man ja quasi jetzt das Minimum (Tiefpunkt).
Die Wurzel macht das Ableiten nur unnötig kompliziert und man kann hier stattdessen die Funktion d(t) auch einfach quadrieren, wodurch die Wurzel wegfällt und man im Endeffekt nur noch das Minimum für die Funktion d²(t)=266000t²-4960t+34 finden muss.

05.06.2011, 23:51

DrHubert

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muss ich dann später im ergebnis die wurzel ziehen, oder bleibt das dann völlig gleich?

05.06.2011, 23:53

Bjoern1982

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Ja, für die minimale Entfernung selbst musst du dann noch die Wurzel ziehen am Ende, falls du das meintest.

05.06.2011, 23:58

DrHubert

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was ist wenn im ergebnis von t ein negativer wert rauskommt?
das kann doch eigentlich nicht stimmen oder?

06.06.2011, 00:03

Bjoern1982

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Nein, das sollte nicht passieren.

06.06.2011, 00:06

DrHubert

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ich hab für d²'(t)=3911,12t+29902,88 raus könnte das stimmen ?

06.06.2011, 00:25

Bjoern1982

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Habs nicht nachgerechnet aber wenn es denn stimmen sollte, dann müssen die Flugzeuge vor dem Startzeitpunkt t=0 eine minimale Entfernung voneinander haben.
Ob das jetzt Sinn macht bezogen auf den Sachzusammenhang in deinem Beispiel kann ich nicht sagen, weil dieser daraus nicht ersichtlich ist.
Möglicherweise muss man dann auch eventuelle Randwerte des Definitionsbereichs für t in Betracht ziehen.

06.06.2011, 00:33

DrHubert

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tschuldigung..
gewaltiger rechenfehler

d²'(t)= 10470,28t-7976,32

und dann ist t=0,381

06.06.2011, 00:39

Bjoern1982

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Joa das klingt doch nicht schlecht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Wobei das aber nicht die Nullstelle von d²'(t) wäre...

06.06.2011, 00:42

DrHubert

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und jetzt füge ich 0,381 für die in d²(t) ein und bekomme dann den kleinsten abstand raus ?

06.06.2011, 01:39

DrHubert

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ach ja...

immer diese rechenfehler..

t=2,04 (abgerundet)

d²'(t)= 2769,92t-5657,92

06.06.2011, 02:57

DrHubert

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bei d²(t) gibt es zwar einen extremwert, aber bei d(t) gibt es keinen.. das geht doch iwie nicht auf oder?

ich habe die werte bei arndt-bruenner.de/mathe/java/plotter überprüft.

für d(t) habe ich $\begin{eqnarray*} \sqrt{1384,96t^{2}- 5657,92t+ 428 } \end{eqnarray*}$

und für d²(t)= $\begin{eqnarray*} 1384,96t^{2}- 5657,92t+ 428 \end{eqnarray*}$

06.06.2011, 21:55

DrHubert

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kann mir bitte jemand helfen?

06.06.2011, 23:31

DrHubert

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$\begin{eqnarray*} AB:\vec{x} = \begin{pmatrix} 10 \\ 26 \\ 8 \end{pmatrix}+ 430t\begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{184} } \end{eqnarray*}$

LH:\vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+ 800t\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{32} }

mein rechenweg:
d(t)= $\begin{eqnarray*} |\left[\begin{pmatrix} 10 \\ 26 \\ 8 \end{pmatrix}+ 430t\begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{184} }\right]- \left[\begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+ 800t\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{32} }\right] | \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} |\left[\begin{pmatrix} 10 \\ 26 \\ 8 \end{pmatrix}+ 31,7t\begin{pmatrix} 12 \\ -6 \\ -2 \end{pmatrix}\right]- \left[\begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+ 141,42t\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\right] | \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} |\left[\begin{pmatrix} -10 \\ 18 \\ 2 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} 946,08 \\ 375,48 \\ -63,4 \end{pmatrix}\right] | \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \sqrt{1384,96t^{2}- 5657,92t+ 428} \end{eqnarray*}$

d²(t)= $\begin{eqnarray*} 1384,96t^{2}- 5657,92t+ 428 \end{eqnarray*}$

06.06.2011, 23:33

DrHubert

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ach so LH ist

$\begin{eqnarray*} LH:\vec{x} = \begin{pmatrix} 20 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+ 800t\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\times \frac{1}{\sqrt{32} } \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 17:58

omgck

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erm das ist jezt vielleicht eine dumme Frage, aber wie komme ich dann auf die -4960t? die 266000t^2 und die 34 verstehe ich aber irgendwie das andere nicht .... also die 4960t wasmuss man da rechnen? verwirrt

verwirrt

Danke schon mal Big Laugh

Big Laugh

17.05.2012, 18:18

opi

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Stichwort: Binomische Formeln.

18.05.2012, 17:21

omgck

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ach ja ok super wie blöd von mir Hammer

Hammer

danke

Big Laugh

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