Kern einer idempotenten Abbildung

06.06.2011, 10:53

invenro

Kern einer idempotenten Abbildung

$\begin{eqnarray*} f\in L(V,V) \end{eqnarray*}$ also f eine lineare abbildung von V in sich...und sei f idempotent und daher projektion, weiters ist
$\begin{eqnarray*} g:=id_V-f \end{eqnarray*}$ ebenfalls idempotent...

nuns soll ich zeigen dass $\begin{eqnarray*} g\circ f=f\circ g=0 \end{eqnarray*}$ , was noch relativ einfach ist...aber ich bekomm das einfach nicht hin:
$\begin{eqnarray*} \ker g=f(V), \ker f=g(V) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \ker g=\ker (id_V-f)\Leftrightarrow (id_V-f)(x)=0\Leftrightarrow id_V(x)-f(x)=0\Leftrightarrow x-f(x)=0\Leftrightarrow x=f(x) \end{eqnarray*}$

und daraus folgt schon $\begin{eqnarray*} \ker g=f(V) \end{eqnarray*}$ ???

danke für hilfe

06.06.2011, 14:29

zweiundvierzig

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Das geht viel einfacher. Berechne für $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ doch mal $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) \end{eqnarray*}$ .

06.06.2011, 15:22

invenro

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okay...ich habs glaub ich ein wenig umständlich gepostet...also
$\begin{eqnarray*} f\circ g=g\circ f=0 \end{eqnarray*}$ is einfach: hab ich schon gezeigt...(poste ich hier nicht)

aber bei der nächsten aufgabe soll ich zeigen:
$\begin{eqnarray*} \ker g=f(V), \ker f=g(V) \end{eqnarray*}$
komm ich nicht weiter Augenzwinkern

06.06.2011, 15:28

invenro

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RE: Kern einer idempotenten Abbildung
den ersten teil hab ich mal:

Zitat:

Original von invenro
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \ker g=\ker (id_V-f)\Leftrightarrow (id_V-f)(x)=0\Leftrightarrow id_V(x)-f(x)=0\Leftrightarrow x-f(x)=0\Leftrightarrow x=f(x) \end{eqnarray*}$

daraus folgt $\begin{eqnarray*} \ker g=f(V) \end{eqnarray*}$
war schon richtig...denn (zur überprüfung):
$\begin{eqnarray*} g(f(x))=(id_V-f)(f(x))=id_V(f(x))-f(f(x))=f(x)-f(x)=0 \end{eqnarray*}$
und da das für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt passt das schon mal.

06.06.2011, 15:32

invenro

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Das geht viel einfacher. Berechne für $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ doch mal $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(x) \end{eqnarray*}$ .

ja...lol...natürlich...wahhh...jt. hab ich den wald vor lauter ... Hammer

hast recht...zack und fertig

danke

p.s. vergesst meine letzten post...zwar richtig aber ganz schön umständlich...
Freude

06.06.2011, 17:49

zweiundvierzig

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Also, mal Schritt für Schritt.

Aus der Rechnung $\begin{eqnarray*} g \circ f = 0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(V) \subset \ker(g) \end{eqnarray*}$ . Zur umgekehrten Inklusion betrachte $\begin{eqnarray*} x \in \ker(g) \end{eqnarray*}$ . Du hast schon gezeigt, dass daraus folgt $\begin{eqnarray*} x = f(x) \end{eqnarray*}$ . Warum beweist das $\begin{eqnarray*} \ker(g) \subset f(V) \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2011, 10:41

invenro

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hmm...ich hab mir gedacht...
$\begin{eqnarray*} g\circ f=0\Rightarrow \ker g=f(V) \end{eqnarray*}$

denn $\begin{eqnarray*} g\circ f=0\Leftrightarrow g(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ und dass ist doch für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ . also gilt doch $\begin{eqnarray*} g(f(V))=0 \end{eqnarray*}$ und das ist doch nichts anderes als die Kerndefinition $\begin{eqnarray*} \ker g:=\{x\in V: g(x)=0\} \end{eqnarray*}$

oder meinst du dass es ein element in $\begin{eqnarray*} \ker g \end{eqnarray*}$ geben könnte dass nicht in $\begin{eqnarray*} f(V) \end{eqnarray*}$ liegt ?!?

denn bei deinem ansatz würde aus $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$ folgen, dass $\begin{eqnarray*} x\in f(V) \end{eqnarray*}$ liegt, also wären beide inklusionen erfüllt...somit gleich

07.06.2011, 10:46

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von invenro
denn bei deinem ansatz würde aus $\begin{eqnarray*} x=f(x) \end{eqnarray*}$ folgen, dass $\begin{eqnarray*} x\in f(V) \end{eqnarray*}$ liegt, also wären beide inklusionen erfüllt...somit gleich

Genau darauf wollte ich hinaus. smile

07.06.2011, 10:53

invenro

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und dass das gleichheitszeichen sofort gilt weil $\begin{eqnarray*} \forall x\in V: g\circ f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist unzulässig...???

aber danke für deine super hilfe !!!

07.06.2011, 11:00

zweiundvierzig

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Gern geschehen. smile

Aber mit Verlaub, ich verstehe Deine Frage nicht.

07.06.2011, 11:06

invenro

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nunja..
z.z. $\begin{eqnarray*} \ker g=f(V) \end{eqnarray*}$

und da ich ja weiß:
$\begin{eqnarray*} g\circ f=0\Leftrightarrow g(f(x))=0 \end{eqnarray*}$ und das gilt doch für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ also gilt $\begin{eqnarray*} g(f(V))=0 \end{eqnarray*}$

und das bedeutet doch
$\begin{eqnarray*} \ker g=f(V) \end{eqnarray*}$

oder ???

neee...du hast recht...das ist nur die inklusion $\begin{eqnarray*} f(V)\subset\ker g \end{eqnarray*}$ ....denn es "könnte" ja ein $\begin{eqnarray*} x\in \ker g \end{eqnarray*}$ geben das nicht in $\begin{eqnarray*} f(V) ist \end{eqnarray*}$

07.06.2011, 13:33

zweiundvierzig

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Ja, eben das war mein Punkt. smile

Natürlich musst Du jetzt noch den anderen Fall ausgehend von $\begin{eqnarray*} f \circ g = 0 \end{eqnarray*}$ behandeln, aber das läuft ziemlich analog.

08.06.2011, 10:13

invenro

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hey...super vielen vielen dank... Freude

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