Basis von u bestimmen
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06.06.2011, 11:03 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von u bestimmen
Meine Frage:
Also die Aufgabe ist : Bestimmen sie eine Basis von U:=<(3 5 1 7),(-1 0 3 1),(7 10 -1 13),(1 1 0 1),(9 10 -7 11)> und ergänzen sie diese Basis durch Hunzunahme geeigneter Vektoren zu einer Basis des IR^4.

Meine Ideen:
Also ich komme bis zum Aufstellen des Gleichungssystems.
3a-b+7c+d+9e=0
5a +10c+d+10e=0
a+3b-c -7e=0
7a+b+13c+d+11e=0

ab diesem Punkt weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Da ich in 2 Stunden die Klausur schreibe hoffe ich, dass ihr mir schnell helfen könnt. Vielen Lieben Dank!
06.06.2011, 11:07 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In 2 Stunden die Klausur? Ist ja wirklich zeitig. Freude

Das Gleichungssystem löst du standardmäßig mit dem Gaußalgorithmus, allerdings würde ich dir die Matrixschreibweise empfehlen (die Vektoren dabei zeilenweise in die Matrix schreiben und auf Zeilenstufenform bringen, dann kann man die Lösung fast schon ablesen).
06.06.2011, 11:27 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »
Re:
also die Matrix sieht ja dann wie folgt aus

(3 -1 7 1 9 | 0)
(5 0 10 1 10| 0)
(1 3 -1 0 -7 |0)
(7 1 13 1 11 | 0)

aber ich sehe da mithilfe des Gaußalgorythmus keine Lösung. verwirrt Weißt du vielleicht gerade den Anfang nennen, damit ich noch schnell eine Rechnen kann, bevor ich mich in die Prüfung quäle?
06.06.2011, 11:31 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ergebnisspalte brauchst du nicht, da wir hier nur auf lineare Unabhängigkeit prüfen.

Trotzdem solltest du die Vektoren zeilenweise in die Matrix eintragen, nicht spaltenweise (es sei denn, du verwendest lieber Spaltenumformungen, ist aber eher unüblich). Danach formst du mit dem Gaußalgorithmus um, bis die Matrix in (strikter) Zeilenstufenform da steht.
06.06.2011, 11:40 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »

geht das auch so :

(10 0 20 2 20 |0) (I) + (IV)
(5 0 10 1 10 |0)
(1 3 -1 0 7 | 0)
(10 0 20 2 20|0) (IV) + (I)

dann ist ja sowohl die erste Zeile als auch die dritte ein Vielfaches von der zweien und
es bleibt dann nur noch die dritte oder hab ich was übesehen?
06.06.2011, 11:46 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend liest du meine Beiträge nicht...

Wenn du Zeilenumformungen machst, dann musst du die Vektoren auch zeilenweise in die Matrix eintragen, nicht spaltenweise.

Entweder du trägst die Vektoren spaltenweise ein und machst dann Spaltenumformungen, oder du trägst die zeilenweise ein und machst Zeilenumformungen. Ein Mischmasch wie bei dir ist Unsinn.
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06.06.2011, 11:50 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »

doch doch, ich lese deine beiträge und versuche sie zu verstehen, aber ich weiß nichtmal genau, was du mit spalten- und zeilenumformungen meinst. hopfen und malz verloren...
06.06.2011, 11:54 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich dir ganz ehrlich empfehlen, dir darüber keine großen Gedanken mehr zu machen. Wenn du in weniger als 2 Stunden die Klausur schreibst, ist das wenig gewinnbringend.

Falls du es dennoch versuchen willst:

Zeilenumformungen: du formst (so wie du es gemacht hast) die Matrix um, indem du Zeilen geeignet addierst und evtl. davor mit einem Faktor multiplizierst, sprich: "von oben nach unten".

Spaltenumformungen: du formst die Matrix um, indem du die Spalten geeignet addierst und evtl. davor mit einem Faktor multiplizierst, sprich: "von links nach rechts".

Damit bringst du die Matrix auf (strikte) Zeilenstufenform.
06.06.2011, 11:59 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab das jetzt mal umgeform und es kommt raus :

(3 -1 7 1 9 )
( -3 -5 -2 -15)
( -80 -23 -140)
( -9 )

also für d=-9 ist mein ergebnis
aber wo soll ich das jetzt einsetzen, da ich ja sonst überall zwei oder mehr unbekannte habe.
ist der ansatz diesmal so richtig oder ist das wieder komplett falsch?
06.06.2011, 12:02 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hast du das denn so umgeformt? geschockt

Die erste Zeile sieht mir immer noch so aus, als hättest du die Vektoren spaltenweise eingetragen, wenn du danach weiterhin mit Zeilenumformungen gearbeitet hast, ist das Ergebnis sowieso hinfällig.

Wie du dann auf die letzte Zeile kommst, kann ich mir auch nicht erklären, du sollst die Matrix lediglich auf Stufenform bringen.
06.06.2011, 12:04 Dr.Holzbein Auf diesen Beitrag antworten »

ach ich gebs jetzt auf... hat ja eh keinen sinn ^^
aber ich danke dir für deine hilfe smile Freude
06.06.2011, 18:45 keiler Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss mich hier mal einschalten, denn ich habe exakt diese Aufgabe zu lösen. Allerdings schreibe ich nicht in wenigen Stunden eine Klausur.
Leider komme ich auch nicht recht weiter.....
In der Vorlesung wurde beschrieben, wir sollen die lineare Unabhängigkeit prüfen indem wir quasi mit den gegebenen Vektoren den Nullvektor erzeugen.
Ich komme daher auf:

3a-b+7c+d+9e=0

5a+10c+d+10e=0

a+3b-c-7e=0

7a+b+13c+d+11e=0

So ich könnte nun ja die Gleichungen nach a und b bzw. c umformen und dann die Terme einsetzen (so wurde uns das gezeigt).
Allerdings komme ich so bei 5 Variablen nicht wirklich weiter bzw. es wird ultrakompliziert.
Kann mir da jemand helfen oder mich auf die richtige Fährte bringen?
Das wäre sehr nett!!

Grüße K.
06.06.2011, 18:50 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier der Tipp: verwende die Matrixschreibweise und bringe sie auf Zeilenstufenform.
06.06.2011, 19:18 keiler Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmh ok, vielen Dank schonmal.
Nun ist es so, dass wir diese Aufgabe seit einigen Tagen schon haben und erst heute zum ersten mal überhaupt kurz was von Matrix und Matrizen angerissen haben.
Sollte die Matrixschreibweise aus der Oberstufe vollständig bekannt sein? (ist bei mir schon etwas länger her)
Dann muß ich mir das zunächst mal anlesen, es scheint ja auf den ersten Blick nicht extrem kompliziert zu sein (hoffe ich zumindest).
Also ist mit den Gleichungen wie ich es geschrieben hab in dem Fall kein Staat zu machen? Bei 4 Variablen klappt das ja noch ganz gut.

Trotzdem wie gesagt schonmal vielen Dank!!
Vielleicht kannst du kurz ein paar Worte über die Matrixschreibweise verlieren oder eine gute Quelle nennen, wo dies anschaulich erklärt wird.

Grüße K.
06.06.2011, 19:22 Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Matrixform eines LGS

Es ist quasi genau das selbe Vorgehen wie bei einem ausgeschriebenen Gleichungssystem, allerdings erspart man sich einiges an Schreibarbeit.
06.06.2011, 19:28 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[Artikel] Basis, Bild und Kern

a' bedeut transponierte Matrix

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
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52:
53:
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56:
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79:
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81:
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83:
84:
85:
86:
87:

>> LGSmitGauss
 
Es wird ein LGS Ax=b mit Gaussalgorithmus gelöst
Es wird eine obere Treppenmatrix mit 1ern berechnet.
 
Matrix A eingeben: A= [3,-1,7,1,9;5,0,10,1,10;1,3,-1,0,-7;7,1,13,1,11]'
Vektor b eingeben: b= [0;0;0;0;0]
 
 
Durchgang 1 
===========
 
pivot = 3 
 
Zeile 2 - -1 * Zeile 1 
 
Zeile 3 - 7 * Zeile 1 
 
Zeile 4 - 1 * Zeile 1 
 
Zeile 5 - 9 * Zeile 1 
 
A =
    1.0000    1.6667    0.3333    2.3333
         0    1.6667    3.3333    3.3333
         0   -1.6667   -3.3333   -3.3333
         0   -0.6667   -0.3333   -1.3333
         0   -5.0000  -10.0000  -10.0000
b =
     0
     0
     0
     0
     0
 
Durchgang 2 
===========
 
pivot = 1.66667 
 
Zeile 3 - -1.66667 * Zeile 2 
 
Zeile 4 - -0.666667 * Zeile 2 
 
Zeile 5 - -5 * Zeile 2 
 
A =
    1.0000    1.6667    0.3333    2.3333
         0    1.0000    2.0000    2.0000
         0         0    0.0000         0
         0         0    1.0000         0
         0         0         0         0
b =
     0
     0
     0
     0
     0
 
Durchgang 3 
===========
 
pivot = 2.66454e-015 
 
Zeile 4 - 1 * Zeile 3 
 
Zeile 5 - 0 * Zeile 3 
 
A =
    1.0000    1.6667    0.3333    2.3333
         0    1.0000    2.0000    2.0000
         0         0    1.0000         0
         0         0         0         0
         0         0         0         0
b =
     0
     0
     0
     0
     0
 
Durchgang 4 
===========
 
pivot = 0 
Zeilenvertauschung nötig!
Matrix ist singulär!
06.06.2011, 20:09 keiler Auf diesen Beitrag antworten »

also ist die Matrixform:


3,-1, 7, 1, 9
5, 0,10,1,10
1, 3,-1, 0,-7
7, 1,13, 1,11

kann ich dann die erste Zeile mit 2 multiplizieren, dann die dritte addieren? Wenn ich dann die 4. davon subtrahiere komme ich auf 0 für den 4. Koeffizienten richtig?

Das würde bedeuten, dass der 4. Vektor auf jeden Fall Teil der Basis ist weil er sich nicht durch die anderen erzeugen läßt.
Die anderen sind noch linear abhängig was bedeutet, dass ich prüfen muß welchen ich davon noch streichen kann?

Ist irgendwas von dem was ich geschrieben hab richtig??!!
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