Zusammengesetzte Zahlen

06.06.2011, 12:16

peter*3

Zusammengesetzte Zahlen

Ich suche eine Zahl, die sich sowohl in der Form 2*b*(5*b+1) als auch in der Form 4*a*(3*a+5)+8 mit a,b element aus N schreiben lässt.
Wahrscheinlich gibt es dafür ja irgendeinen Satz, doch ich habe jetzt nichts gefunden.

06.06.2011, 12:46

HAL 9000

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Hmmm, die somit vorliegende Gleichung $\begin{eqnarray*} 2b(5b+1) = 4a(3a+5)+8 \end{eqnarray*}$ kannst du durch eine geeignete lineare Transformation $\begin{eqnarray*} a\to x, b\to y \end{eqnarray*}$ in die Standardform $\begin{eqnarray*} x^2-ry^2 = s \end{eqnarray*}$ überführen, deren Lösungstheorie vollständig bekannt ist.

EDIT: War wohl etwas zu hochgestochen, denn man kann bereits durch Probieren ein "kleines" (genauer gesagt: einstelliges) Lösungspaar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ finden. Augenzwinkern

06.06.2011, 14:13

Peter*3

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Danke für die Antwort.
Auf der rechten Seite wäre ja das einzig mögliche a=0, damit bekommt man für die Zahl (ich nenne sie nun n) n=8. Jedoch kann 8 nicht durch die Form links dargestellt werden.
Dein einstelliges Lösungspaar sehe ich hier also nicht.
Die hochgestochene Lösung war sah für meine Zwecke schon ganz gut aus, da ich eine allgemeine Lösungsformel suche, das wurde nicht ganz aus meiner angfänglichen Aufgabenstellung deutlich.
Leider kenne ich mich nicht mit linearen Abbildungen aus. Wenn ich das richtig verstehe, sucht man nun ein x=p*a+q, für dass die rechte Seite, dann u*x^2+v wird.
Genauso links.
Doch wie wird so etwas berechnet?

06.06.2011, 14:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peter*3
Leider kenne ich mich nicht mit linearen Abbildungen aus. Wenn ich das richtig verstehe, sucht man nun ein x=p*a+q, für dass die rechte Seite, dann u*x^2+v wird.
Genauso links.
Doch wie wird so etwas berechnet?

Von "quadratischer Ergänzung" solltest du im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen schon mal was gehört haben. Genau sowas machst du hier.

Zitat:

Original von Peter*3
da ich eine allgemeine Lösungsformel suche, das wurde nicht ganz aus meiner angfänglichen Aufgabenstellung deutlich.

Stimmt, das wurde nicht deutlich: Dort klingt es so, als genüge dir eine Lösung, und die ist z.B. $\begin{eqnarray*} a=2,b=3 \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} n=96 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

P.S.: Mit einstellig hatte ich natürlich $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gemeint, nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , denn von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hatte ich überhaupt nicht gesprochen. unglücklich

06.06.2011, 15:34

peter*3

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mit x=a+5/6 und y=b+1/10 hab ich jetzt
x^2-6/5*y^2=136/36000
raus.
Und jetzt nach irgendwas auflösen, oder wie geht es jetzt weiter?

06.06.2011, 15:35

HAL 9000

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Naja, man sollte die linearen Abbildungen schon so wählen, dass da ganze Zahlen stehen. Wir sind hier ja schließlich bei diophantischen Gleichungen.

Ansonsten: Pellsche Gleichung und verwandtes

06.06.2011, 22:06

Peter*3

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Ich hab mich eh verrechnet. Also nochmal:
mit x und y gleich wie vorhin bekommt man:
360*x^2-300*y^2=7
Das kann man aber nicht auf die Pellsche Gleichung bringen.
Also wie weiter, wann hat die gleichung eine diophantische lösung?

06.06.2011, 22:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Peter*3
360*x^2-300*y^2=7
Das kann man aber nicht auf die Pellsche Gleichung bringen.

Aber durch eine weitere Substitution zumindest auf die Form

$\begin{eqnarray*} x^2-ry^2 = s \end{eqnarray*}$ .

Und deren Lösung hat durchaus was mit den Lösungen der zugehörigen Pellschen Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2-ry^2 = 1 \end{eqnarray*}$

zu tun. Ich kenne die Theorie selbst nicht so genau, da wirst du dich selber durchbeißen müssen. Jedenfalls solltest du nicht gleich so schnell kapitulieren.

06.06.2011, 22:40

Peter*3

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Nur damit ichs richtig versthe:
ich mache jetzt:
3600*x^2-3000*y^2=70
z=60*x
z^2-3000*x^2=70
Stimmt das soweit?

07.06.2011, 09:16

peter*3

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Ich habe das problem nochmal ganz von vorne mit einem bisschen anderen Ansatz gerechnet.
Ich bin dann auf die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 10 x^2-3 y^2=7 \end{eqnarray*}$
gekommen.
Substitution mit
$\begin{eqnarray*} x=u+3 v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=u+10 v \end{eqnarray*}$ führt zu:
$\begin{eqnarray*} u^2-30 v^2=1 \end{eqnarray*}$
Die Grundlösung dieser Gleichung ist
$\begin{eqnarray*} u_0=11 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_0=2 \end{eqnarray*}$
Resubstitution führt zu:
$\begin{eqnarray*} x=16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=31 \end{eqnarray*}$ , was jedoch nicht der Grundlösung entspricht. Diese würde nämlich
$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=9 \end{eqnarray*}$ sein.
Meine Frage ist nun, ob die Matrizenmultiplikation
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u_{n+1} \\ v_{n+1} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} u_0 & d v_0 \\ v_0 & u_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alle Lösungen für x und y liefert oder nur ein Teil.

07.06.2011, 09:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von peter*3
Die Grundlösung dieser Gleichung ist
$\begin{eqnarray*} u_0=11 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_0=2 \end{eqnarray*}$
Resubstitution führt zu:
$\begin{eqnarray*} x=16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=31 \end{eqnarray*}$

Tatsächlich führt die Rücksubstitution zu $\begin{eqnarray*} x=17,y=31 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von peter*3
Diese würde nämlich $\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=9 \end{eqnarray*}$ sein.

Das ist ebenfalls keine Lösung von $\begin{eqnarray*} 10x^2-3y^2=7 \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls führt $\begin{eqnarray*} u=-11,v=2 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x=-5,y=9 \end{eqnarray*}$ , was dann ebenso Lösung ist wie $\begin{eqnarray*} x=5,y=9 \end{eqnarray*}$ . Ich nehme an, das ist die eigentliche Grundlösung, von der du sprichst.

07.06.2011, 10:04

Peter*3

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Oh ja, meinte ich.
Mit Hilfe von Maple hab ich jetzt gemerkt, dass ich so jede 2.Lösung bekomme, doch wie komme ich an die anderen ran?

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