Richardson Verfahren

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MatheCons Auf diesen Beitrag antworten »
Richardson Verfahren
Hey MatheBoard,

habe eine Aufgabe zum Richardson Verfahren:

Auf die Matrix
soll das Richardson-Verfahren mit einem Parameter v > 0 zur Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b angewendet werden.

1. Bestimmen Sie zur Iterationsmatrix M = I-vA den Spektralradius p(M) in Abhängigkeit
von v. Zeigen Sie hierfür zunächst, dass für die Eigenwerte von M der Zusammenhang
gilt, wobei die Eigenwerte von A bezeichnen.

Meine Ideen: Da A eine symmetrische Matrix ist, wird M auch symmetrisch sein. (Darf ich mir hier ein beliebiges v > 0 nehmen?) Somit ließe sich berechnen. Muss ich für die Eigenwerte wie üblich das charakteristische Polynom berechnen? Wie gehe ich dann weiter vor?

2. Skizzieren Sie für den Spektralradius. Bestimmen Sie den optimalen Parameter , für den p(M) minimal wird. Berechnen Sie zudem für den optimalen Parameter .

Meine Ideen: Hier bin ich ratlos, vielleicht kann ja jmd eine solche Skizze plotten, falls das einfacher ist als ich denke.

Danke schonmal smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richardson Verfahren
Du sollt ja in Abhängigkeit von v arbeiten. Man wählt da also noch gar nichts.



Die Eigenwerte von einer 2x2 Matrix zu bestimmen ist ja nun eine einfache Aufgabe. Natürlich mit char-Poly, wenn das schon Grad 2 hat.



Nun Lösugnsformel oder die Zeile mit der Scheitelpunktsform genauer anschauen liefert:



Nun könntest du ja mal die EW von A berechnen und prüfen, ob der geforderte Zusammenhang gilt.
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