Infimum, Maximum, Minimum und Supremum

06.06.2011, 14:25

phil448

Infimum, Maximum, Minimum und Supremum

Meine Frage:
Hi,

es ist folgende Funktion auf mögliche Infima, Maxima, Minima und Suprema in $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ zu überprüfen:

$\begin{eqnarray*} ln(x+3)/(\sqrt{16-x^{2}}-1) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also, nachdem ich die Ableitung gebildet habe, würde ich mal behaupten, dass es weder ein Maximum, noch ein Minimum gibt. Wie kann ich jedoch ein mögliches Infimum oder Supremum bestimmen?

06.06.2011, 15:57

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
1. Da steht keine Funktion

2. Der Definitionsbereich ist sicher nicht ganz IR

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\ln(x+3)}{\sqrt{(4-x)(4+x)}-1} \end{eqnarray*}$

06.06.2011, 16:26

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
zu 1. $\begin{eqnarray*} f(x)=ln(x+3)/(\sqrt{16-x^{2}}-1) \end{eqnarray*}$

zu 2. Im Text steht: $\begin{eqnarray*} x\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei der Definitionsbereich...

06.06.2011, 16:27

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum

Zitat:

Original von phil448
zu 2. Im Text steht: $\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei der Definitionsbereich...

So steht es bestimmt nicht da. Eher $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Was ist dann A?

06.06.2011, 16:29

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Hab mich vertippt. Sry.

06.06.2011, 16:31

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Ok, aber auf meine eigentliche Antwort warte ich immer noch...

06.06.2011, 19:09

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Versteh ich nicht! Mein Problem besteht immer noch. Wie kann ich rechnerisch das Infimum bzw. Supremum zu ermitteln? verwirrt

06.06.2011, 19:11

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Und bevor man das machen kann, muss man erst mal den Definitionsbereich bestimmen. Was ist an dieser Vorgehensweise unklar?

06.06.2011, 20:07

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Also der Definitionsbereich müsste $\begin{eqnarray*} |D=]-3;4] \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \sqrt{15} \end{eqnarray*}$ sein.

06.06.2011, 20:09

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Aha. Dann sollte man mal das Verhalten an den Grenzen des Def.-Bereichs untersuchen.- Was stellt man fest?

06.06.2011, 20:14

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Hmm, naja bei -3 wird die Funktion sich annähern, aber -3 nie erreichen. Das gleiche gilt von links und rechts kommend für $\begin{eqnarray*} \sqrt{15} \end{eqnarray*}$ . Bei 4 erreicht die Funktion diesen Wert. Liegt dann bei -3 & $\begin{eqnarray*} \sqrt{15} \end{eqnarray*}$ eine Schranke vor und bei 4 ein Grenzwert?

06.06.2011, 20:47

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum

Zitat:

Hmm, naja bei -3 wird die Funktion sich annähern, aber -3 nie erreichen.

Was ist das für eine sinnfreie Aussage? Es geht ja um $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -3}f(x) \end{eqnarray*}$

06.06.2011, 21:37

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Versteh ich wirklich nicht! Vielleicht könnte mir jemand eine Beispiel-Lösung zu dieser Funktion geben, damit ich einen Anhaltspunkt bekomme. So hilft mir das nicht weiter.

Danke schon mal!

06.06.2011, 21:46

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Weißt du, es ist halt sehr "lästig", wenn Leute mit Hochschulreife die Grundlagen nicht beherrschen und sich dann wundern, warum es so lange dauert und sich gegen die Aufabreiten der Grundlagen zu wehren scheinen. Augenzwinkern

Du sollst diesen Grenzwert bestimmen $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -3}f(x) \end{eqnarray*}$ . Dabei ist die Funktion ja "gebrochen", also ein Bruch. Nun hatte man bei gebrochen rationalen Funtkionen ja so was wie Polstellen untersucht. Das wäre bei der inneren Def-Lücke interessant.

Die Ableitung bringt sich hier nicht weiter, denn wir sehen im Plot ja, dass es keinen lokalen Extremwert [Ableitung 0 etc.] gibt. und selbst wenn wir zeigen, dass die Funktion monoton steigt/fällt auf Teilintervallen, schließt das eine Beschränkung nicht aus oder zeigt Unbeschränktheit.

Also zurück zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -3}f(x) \end{eqnarray*}$ . Der Nenner besitz einen Grenzwert, man kann also abschätzen und mit dem Wissen über den Kurvenverlauf der ln-Funktion folgt dann auch

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -3}f(x) =-\infty \end{eqnarray*}$

Also ist f nach unten unbeschränkt, hat weder inf noch Min. smile

07.06.2011, 14:49

phil448

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Ok, also schau ich:

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -3} =-\infty \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow\sqrt{15}}f(x) =\infty \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow\sqrt{15}}f(x) =-\infty \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 4} =-ln(7) \end{eqnarray*}$

Ich würde also sagen, dass die Funktion für 1. bis 3. unbeschränkt ist und auch keinen Extremwerte aufweist. Wie sieht das bei 4. aus?

07.06.2011, 17:41

tigerbine

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RE: Infimum, Maximum, Minimum und Supremum
Wegen

1. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow -3} =-\infty \end{eqnarray*}$

2. Schauen wir uns den entscheidenden Term bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{15} \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{16-x^{2}}-1 \end{eqnarray*}$

Also für x>0: $\begin{eqnarray*} sqrt(16-x^2)-1>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x <\sqrt{15} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt(16-x^2)-1<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>\sqrt{15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{15}+3)\approx 1.92 >0 \end{eqnarray*}$

Damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow\sqrt{15}}f(x) =\infty \end{eqnarray*}$

und muss man nicht weiter suchen. Die Funktion ist also unbeschränkt. Wir suchen hier ja globale Extremwerte, nicht lokale.

Wenn du aber auch das zweite Intervall betrachten willst, so bekommen wir dort:

3. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \downarrow\sqrt{15}}f(x) =-\infty \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 4} =-\ln(7) \end{eqnarray*}$

Hier könnten wir [also nur auf diesem Intervall!] von einer Beschränkung von f nach oben ausgehen. nun sage du mit, durch was und ob max oder sup.

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