Fourier-Reihe von Beispielaufgabe

06.06.2011, 16:54

sed.de

Fourier-Reihe von Beispielaufgabe

Hallo zusammen! Erstmal großes Lob an das Board, habe hier selber schon viel gelesen und gestöbert, aber jetzt habe ich mich erst angemeldet, da ich die Lösung zu einer Aufgabe brauche.

Wir sind jetzt mit den Fourier-Reihen angefangen, leider weiß ich nicht wie man bei Wolfram Alpha Fourier Reihen mit gestückelten Funktionen usw... eingeben und lösen lassen kann, deshalb probiere ich es einmal hier.

Ist die Lösung zu dieser Aufgabe korrekt? Falls nicht, kann ich meinen Lösungsweg mal posten...

Freue mich jetzt schon über eine kurze Antwort!

Vielen Dank Augenzwinkern

06.06.2011, 20:25

Abakus

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RE: Fourier-Reihe von Beispielaufgabe
Hallo,

wie kommst du auf die -1/2 am Anfang der Reihe?

Wenn wir 0 einsetzen, muss ja 1 als Ergebnis rauskommen.

Abakus smile

07.06.2011, 10:24

sed.de

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habs grad nochmal nachgerechnet... bekomme jetzt für a0 doch 0 raus... also als lösung:
$\begin{eqnarray*} f(t) = \sum\limits_{n=0}^\infty ( (-1)^n \frac{4 * cos((2n+1)*t)}{\pi*(2n+1)} ) \end{eqnarray*}$
Mal zum Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{T} * \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } \! f(t) \, dt a_{0} = \frac{2}{2\pi } * \int_{0}^{\pi} \! f(t) \, dt a_{0} = \frac{1}{\pi} * ( \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \! 1 \, dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{ \pi } \! -1 \, dt ) a_{0} = \frac{1}{\pi} * ( \frac{\pi}{2} + (-\pi + \frac{\pi}{2} ) ) a_{0} = 0 a_{k} = \frac{2}{T} * \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } \! f(t)*cos(kt) \, dt a_{k} = \frac{4}{2\pi } * \int_{0}^{\pi} \! f(t)*cos(kt) \, dt a_{k} = \frac{2}{\pi} * ( \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \! cos(kt) \, dt - \int_{\frac{\pi}{2}}^{ \pi } \! cos(kt) \, dt ) a_{k} = \frac{2}{\pi*k} * ( sin(k*\frac{\pi}{2})+sin(k*\frac{\pi}{2}) ) \end{eqnarray*}$
weil:
sin(0) = 0
und
sin(pi) = 0
$\begin{eqnarray*} a_{k} = \frac{4}{\pi*k} * sin(k*\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$
für k gerade:
$\begin{eqnarray*} a_{k} = 0 \end{eqnarray*}$
für k ungerade:
1,5,9,...
$\begin{eqnarray*} a_{k} = \frac{4}{\pi*k} \end{eqnarray*}$
3,7,...
$\begin{eqnarray*} a_{k} = - \frac{4}{\pi*k} \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 00:13

Abakus

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Zitat:

Original von sed.de
Mal zum Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{T} * \int_{-\frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } \! f(t) \, dt a_{0} = \frac{2}{2\pi } * \int_{0}^{\pi} \! f(t) \, dt a_{0} = \frac{1}{\pi} * ( \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \! 1 \, dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{ \pi } \! -1 \, dt ) a_{0} = \frac{1}{\pi} * ( \frac{\pi}{2} + (-\pi + \frac{\pi}{2} ) ) a_{0} = 0 \end{eqnarray*}$

Möglicherweise hast du ja richtig überlegt, aber das ist für deine Leser nicht erkennbar. Was ist das T, das da ohne Definition auftaucht? (wir können es uns denken, aber dennoch musst du es zunächst definieren)

Das relevante Intervall geht jetzt von - PI/2 bis 3/2 PI, diese Grenzen kommen bei dir aber überhaupt nicht vor. Was also machst du da? Ohne dass du dein Vorgehen erklärst, steht ein Betrachter ziemlich im Regen.

Abakus smile

08.06.2011, 10:57

sed.de

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T ist die Periodendauer... $\begin{eqnarray*} T = 2\pi \end{eqnarray*}$

ich nehme 2 mal das Integral, deshalb ist in jeden 2. Schritt auch nicht mehr 1/T sondern 2/T
und so verschiebe ich die Grenzen ("verkleinere") ich diese von $\begin{eqnarray*} [-\pi; \pi] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0; \pi] \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 18:36

Abakus

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OK, ich verstehe nun was du meinst; allerdings solltest du überlegen, deine Rechnungen generell mit etwas mehr "Erklärungsprosa" zu versehen, das hilft für das Verständnis eines geneigten Lesers viel.

Dein Ergebnis sieht jetzt ok aus. Erklären müsstest du allerdings noch, was beim Sprung der Funktion genau passiert: da hast du ja einen abweichenden Wert der Fourierreihe?

Abakus smile

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