Intervall einer Funktion bestimmen

06.06.2011, 18:45	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Intervall einer Funktion bestimmen Hallo, ich soll für eine Funktion von IR nach IR mit x -> (1-x)exp(x) möglichst große Intervalle bestimmen, auf denen f streng monton wachsend oder fallend ist. Sowie lokale Extrema bestimmen. Die Extrema bestimme ich ich durch durch die ableitung (bitte einmal drüber gucken, ich kanns glaub ich immer noch nicht richtig). Ableitung aus des Produkts (und auf f als Zwischenschritt die Summenregel): f=1-x g= exp(x) f' = 0-1 = -1 g' = exp(x) Durch Produktregel (1-x)exp(x)+(-1)exp(x)=(1-x)exp(x)-exp(x) Aber wie rechne ich daraus jetzt 0 (gegenfunktion zu exp)? Oder liege ich ganz auf den Holzweg. Ups da habe ich was falsches ausgerechet. Die ableitung ist, oder? $\begin{eqnarray} (1-x)e^x - e^x \end{eqnarray}$
06.06.2011, 20:26	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ableitung ist nicht falsch, Du kannst sie aber deutlich vereinfachen, indem Du die Klammer ausmultiplizierst und den Term danach zusammenfasst. Dann sollte Dir eine Nullstelle direkt ins Auge springen.
06.06.2011, 20:54	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausmultiplizert komme ich auf $\begin{eqnarray} e^x (-x) \end{eqnarray}$ . Aber wie rechnet man $\begin{eqnarray} 0=e^x (-x) \end{eqnarray}$ um? Sorry mir springt gerade rein gar nichts ins Auge... außer x=0 aber das kann doch nicht die einzige stelle sein, oder?
06.06.2011, 21:06	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, ist sie. Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ wird niemals Null, da kann man einsetzen, was man will.
06.06.2011, 21:15	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok und wie mache ich jetzt weiter? Wenn ich das richtig im Kopf habe muß ich jetzt die zweite ableitung bilden und da null einsetzen, oder? Dann habe ich aber doch nur die Extrema und nicht die Monotonie und das Intervall?
06.06.2011, 21:28	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst zur Überprüfung des Extremums die zweite Ableitung bilden, das ist richtig. Einfacher ist es aber, für x einen beliebigen Wert links und rechts der Stelle x=0 in die erste Ableitung einzusetzen (z. B. -1 und 1). Damit kannst Du das Steigungsverhalten bestimmen und erkennen, ob ein Extremum vorliegen muß.
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06.06.2011, 22:12	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok und wie finde ich dann das intervall. Ich habe es jetzt nicht ausgerechnet sondern würde mal sagen das die Funktion streng monoton fallend ist.
06.06.2011, 22:22	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es nicht ausgerechnet? Du hast nicht 1 und -1 in die erste Ableitung eingesetzt? Du hast geraten?
07.06.2011, 18:00	Taladan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte geraten. Bin gerade am rechnen. mit 1 = $\begin{eqnarray} e^1(-1)= -2,7 \end{eqnarray}$ mit -1 = $\begin{eqnarray} e^-1(--1)= 0,36 \end{eqnarray}$ Aber was das bedeutet weiß ich nicht, da ich noch nie auf diese art Hoch/Tiefpunkt bestimmt habe.
07.06.2011, 20:41	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Raten ist selten zielführend. Du sollst ja Angaben über das Monotonieverhalten machen, welches sich bei einer Extremstelle ändert. Für den Bereich x<0 hat die Ableitung einen positiven Wert, die Funktion ist also steigend.

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