Kleinster Funktionswert einer Parabel

06.06.2011, 19:12

Maxi9b

Kleinster Funktionswert einer Parabel

Meine Frage:
Im Prinzip ganz einfach: Wir haben eine quadratische Gleichung gegeben und wir sollen den kleinsten Funktionswert bestimmen. Eine quadratische Funktion ist dabei immer eine Parabel. Nun meine Frage bzw. mein Gedanke den ich mir selbst nicht bestätigen kann:

Ist der kleinste Funktionswert einer Parabel der Scheitelpunkt der Parabel wenn die Parabel nach oben geöffnet ist? Und wenn sie nach unten geöffnet ist, ist der kleinste Funktionswert dann $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Gestellte Aufgabe war $\begin{eqnarray*} 3x^{2} + 12x - 25 \end{eqnarray*}$ ..

Nun, meinen Gedanken zufolge müsste ich aus dieser Gleichung nun eine Scheitelgleichung erstellen, dies habe ich auch getan. Nun möchte ich aber auch wissen ob es denn so stimmt wie ich es berechnet habe:

3 müssten wir ausklammern dann wäre es: $\begin{eqnarray*} 3 \times \left(x^{2} + 4x - \frac{25}{3} \right) \end{eqnarray*}$

Dann eine quadratische Ergänzung: $\begin{eqnarray*} 3\times \left(x^{2} + 4x + 4 - 4 - \frac{25}{3} \right) \end{eqnarray*}$

Dann die binomische Formel anwenden: $\begin{eqnarray*} 3\times \left(\left(x + 2\right)^{2} - 4 - \frac{25}{3} \right) \end{eqnarray*}$

Dann die 3 reinmultiplizieren: $\begin{eqnarray*} 3 \times \left(x + 2\right)^{2} - 12 - 25 \end{eqnarray*}$

Ergibt als Endergebnis: $\begin{eqnarray*} 3 \times \left(x + 2\right)^{2} - 37 \end{eqnarray*}$

Scheitelpunkt wäre dann (-2|-37) und die Parabel wäre nach oben geöffnet + sie wäre um den Wert 3 verschmälert.

Stimmt das alles so? Ich schreibe morgen eine Schulaufgabe, 9. Klasse, Themen sind unter anderem Parabellehre, Gleichungssysteme mit 3 Variablen, Raumgeometrie und Trigonometrie, habe mit allem keine Probleme nur bin ich mir bei der Parabellehre noch recht unsicher, ich hoffe morgen legt sich das.

Danke schon einmal im Voraus!

06.06.2011, 19:23

PhyMaLehrer

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RE: Kleinster Funktionswert einer Parabel

Zitat:

Original von Maxi9b
Ist der kleinste Funktionswert einer Parabel der Scheitelpunkt der Parabel wenn die Parabel nach oben geöffnet ist? Und wenn sie nach unten geöffnet ist, ist der kleinste Funktionswert dann $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ ?

Eigentlich ist der Sachverhalt ja klar, aber wenn jemand so eine konkrete Frage stellt, denkt man doch erst mal drüber nach... verwirrt

Aber so würde ich das auch sehen!
Deine Scheitelpunktsberechnung macht auch einen guten Eindruck und stimmt sogar mit dem Funktionsplotter überein! Big Laugh