gleichmäßige Konvergent

12.12.2006, 20:41

jaxxon

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gleichmäßige Konvergent

Nabend zusammen.

Habe hier eine Aufgabe bei der ich große Probleme habe unglücklich

unglücklich

Für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb {R} \text{ sei} f_n(x)= x + \frac {1} {n}. \end{eqnarray*}$
Zeige : Die Folge der Funktionen $\begin{eqnarray*} (f_n(x))_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , die Folge $\begin{eqnarray*} (f^2_n(x))_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.

Jo und leider hab ich nicht soviel an Ideen unglücklich

unglücklich

Also das was ich mir noch Vorstellen kann ist :

Aus $\begin{eqnarray*} f_n(x)= x + \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ sieht man ja das wenn n gegen unendlich strebt 1/n = 0 wird also ist der Grenzwert von x + \frac {1} {n} = x.

Für $\begin{eqnarray*} (f^2_n(x))_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ bedeutet das doch $\begin{eqnarray*} f^2_n(x) = x + \frac 1 {n^2} \end{eqnarray*}$
Hier ist der Grenzwert doch der selbe nicht ?

Nunja ob das überhaupt so klappt mit dem Grenzwert weiß ich nicht aber das ist leider das einzige was mir einfällt unglücklich

unglücklich

Wie geh ich an die Aufgabe ran ?

12.12.2006, 21:01

Mathespezialschüler

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Wie ist denn die Definition von gleichmäßiger Konvergenz?
Mit $\begin{eqnarray*} f_n^2(x) \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} f_{n^2}(x) \end{eqnarray*}$ gemeint, sondern

$\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2=\left(x+\frac{1}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.12.2006, 14:43

jaxxon

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Ok also bisher bin ich soweit :

für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x + \frac 1 n = x \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (x + \frac 1 n)^2 = x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} = x^2 \end{eqnarray*}$

Nach Definition der gleichmäßigen Konvergenz gilt also :

Für $\begin{eqnarray*} \mid f_n(x) - f(x) \mid < \epsilon \text{ also} : \mid x + \frac 1 n - x \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ Für genügend große n.

Jetzt hab ich aber noch folgendes Problem :

Für $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - (f(x))^2 \mid < \epsilon \text{ für genügend große n , also} : \mid x^2 - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Frage :
da ja für mein fn^2 rauskommt : x² - x² wäre das ja doch gleichmäßig konvergent.

Ist der Fehler nur das ich $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ und f(x) = x ?

mfg
Jaxxon

13.12.2006, 14:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von jaxxon
Nach Definition der gleichmäßigen Konvergenz gilt also :

Für $\begin{eqnarray*} \mid f_n(x) - f(x) \mid < \epsilon \text{ also} : \mid x + \frac 1 n - x \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ Für genügend große n.

Das gilt nicht, sondern es ist zu zeigen daß gilt:
Für jedes epsilon > 0 gibt es ein n0, so daß $\begin{eqnarray*} \mid f_n(x) - f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist für alle n > n0 und alle x aus R. In der Tat läßt sich zu jedem epsilon ein derartiges n0 finden.

Zitat:

Original von jaxxon
Für $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - (f(x))^2 \mid < \epsilon \text{ für genügend große n , also} : \mid x^2 - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \mid x^2 - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

13.12.2006, 14:57

jaxxon

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Jo also war ein wenig faul die Definition genau auszuschreiben.

Zitat:

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \mid x^2 - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Das ist genau das Problem Big Laugh

Big Laugh

Also ich hab gerechnet $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - (f(x))^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Oder muss ich da $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - f(x) \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ rechnen ?

13.12.2006, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von jaxxon
Also ich hab gerechnet $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - (f(x))^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Und was steht dann da? Gewiß nicht x² - x².

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13.12.2006, 15:37

jaxxon

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Ok dann steht da wohl doch x² - x und das ist größer Epsilon für x aus R.

Right ?

13.12.2006, 15:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von jaxxon
Ok dann steht da wohl doch x² - x

Bitte?

verwirrt

Was ist denn $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2=\left(x+\frac{1}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2006, 17:10

fragender

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Zitat:

Original von jaxxon
Also ich hab gerechnet $\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - (f(x))^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wäre das dann $\begin{eqnarray*} \mid \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$ ?

13.12.2006, 18:21

jaxxon

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Args Akku hat schlapp gemacht während ich schrieb unglücklich

unglücklich

Ok also ich glaub ich konnte mich nicht klar ausdrücken darum probier ich das was ich bisher habe nochmal klar aufzuschreiben.

Also ich bilde zunächst einmal die Grenzwerte der Funktionsfolgen.

Für $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x + \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ gilt :
Strebt n gegen unendlich so wird $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n} = 0 \end{eqnarray*}$
Also konvergiert die Funktionsfolge gegen x !

Nun bilde ich den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 = x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} \end{eqnarray*}$
gilt : strebt n gegen unendlich so strebt $\begin{eqnarray*} \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} \text { gegen} 0 + 0 \end{eqnarray*}$
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gegen x² !

So nun kann ich doch sagen :

Für $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gilt :
$\begin{eqnarray*} \mid f_n(x) - f(x) \mid = \mid x - x \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - f(x) \mid = \mid x^2 - x \mid > \epsilon \end{eqnarray*}$

Demnach konvergiert $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig jedoch nicht $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$

So also :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2=\left(x+\frac{1}{n}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ?

Das was ich weiß oder vermute habe ich hier nochmal aufgeschrieben. Stimmt es nicht ?

13.12.2006, 18:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von jaxxon
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gegen x² !

Ja und zwar punktweise.

Zitat:

Original von jaxxon
Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - f(x) \mid = \mid x^2 - x \mid > \epsilon \end{eqnarray*}$

Das ist Humbug. Für die Untersuchung der gleichmäßigen Konvergenz mußt du die Funktion nehmen, gegen die f_n punktweise konvergiert. Also geht es um:
$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - x^2 \mid \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 19:11

jaxxon

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Hmm dann komm ich wieder zu dem Problempunkt :

Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - x^2 \mid = \mid x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ Punktweise gegen x² konvergiert.

Hmm aber das darf ja nicht rauskommen unglücklich

unglücklich

((

13.12.2006, 19:33

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von jaxxon
Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - x^2 \mid = \mid x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ Punktweise gegen x² konvergiert.

Hmm aber das darf ja nicht rauskommen unglücklich

unglücklich

((

Immerhin hast du jetzt richtig eingesetzt. Was darf dMn nicht rauskommen?

Gruß MSS

13.12.2006, 19:43

fragender

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$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - x^2 \mid = \mid x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} - x^2 \mid = \mid \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
aber wie kommt man nun weiter?

13.12.2006, 19:44

jaxxon

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Nun ich will ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig auf R konvergiert.

Aber genau das Gegenteil hab ich gerade gezeigt unglücklich

unglücklich

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mid (f_n(x))^2 - x^2 \mid = \mid x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} - x^2 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Edit :

Aufgabenstellung :

Zitat:

Zeige : Die Folge der Funktionen $\begin{eqnarray*} (f_n(x))_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ konvergiert gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} \mathbb {R} \end{eqnarray*}$ , die Folge $\begin{eqnarray*} (f^2_n(x))_{n \geq 1} \end{eqnarray*}$ jedoch nicht.

13.12.2006, 19:58

Mathespezialschüler

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Ich sehe nicht, dass du das gezeigt hast. Lies dir nochmal die Definition von gleichmäßiger Konvergenz durch und achte vor allem, was man wozu finden muss.

Gruß MSS

13.12.2006, 20:08

jaxxon

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ja gut mir ist schon klar das ich wenn ich gleichmäßige Konvergenz zeigen will eine Schranke N finden muss sodass für alle n usw....

Kurz es muss ab einem gewissen Punkt N für alle n größer als N die Punktweise konvergenz gelten..
Aber da ist ja nicht mein Problem das ist mir ja klar aber trotzdem ändert das nichts daran das ich die Punktweise Konvergenz von $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ auch auf gleichmäßige Konvergenz übertragen kann.

Also wenn das nicht stimmt was ich geschrieben habe dann brauch ich einen komplett neuen Ansatz und da finde ich einfach keinen unglücklich

unglücklich

Ich meine ich hab ja die Grenzwerte gezeigt, also muss es doch ein N geben ab dem 1/n und 2x/n² + 1/n² kleiner als jedes Epsilon sind.
Und dann hab ich schon die gleichmäßige Konvergenz.

Also stimmt die Aufgabe nicht ?

13.12.2006, 20:14

Mathespezialschüler

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Nein, du hast ein falsches Verständnis von gleichmäßiger Konvergenz! Bei dir ist punktweise und gleichmäßige Konvergenz das Gleiche.

Zitat:

Kurz es muss ab einem gewissen Punkt N für alle n größer als N die Punktweise konvergenz gelten..

Das z.B. ist vollkommen quatsch. Punktweise Konvergenz ist eine Aussage, die man für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ macht, da kann das nicht für bestimmte $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ gelten.

Zitat:

Ich meine ich hab ja die Grenzwerte gezeigt, also muss es doch ein N geben ab dem 1/n und 2x/n² + 1/n² kleiner als jedes Epsilon sind.
Und dann hab ich schon die gleichmäßige Konvergenz.

Nein, hast du nicht. Du musst zwar solch ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ finden, sodass das $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ wird für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ , aber das $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ muss für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dasselbe sein!

Gruß MSS

13.12.2006, 20:26

jaxxon

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Zitat:

Gegeben seien eine Funktionenfolge fn, die jeder natürlichen Zahl n eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion f. Alle fn sowie f seien auf derselben Definitionsmenge Df definiert. Die Folge fn konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right| \ \mid x\in\mathbb{D}_f\,\}=0. \end{eqnarray*}$
Man betrachtet hier die absolute Differenz von fn(x) und f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen ist entweder unbeschränkt oder hat eine kleinste obere Schranke, ein Supremum. Gleichmäßige Konvergenz von fn gegen f bedeutet, dass dieses Supremum für fast alle n existiert und gegen Null geht, wenn n gegen unendlich strebt.

So das ist die Definition aus Wikipedia.

Hm ja gut der einzige Unterschied ist das es 0 sein muss aber nach deinem Post glaube ich das das was ich gemacht habe nicht mal Ansatzweise richtig ist.
Nun schau ich die Definition an und denke es muss doch richtig sein nur an den formalien happert es noch.

Ich habe doch gezeigt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|(f_n(x))^2-x^2\right| \ \mid x\in\mathbb{D}_f\,\}=0. \end{eqnarray*}$

Warum ? Weil wie schon vorher gezeigt der Grenzwert von (f_n(x))^2 nun einmal x² ist.

Bitte helf mir was mache ich denn falsch ? Wieso verstehe ich das nicht ? ARgs *error* *boom*

13.12.2006, 20:37

Mathespezialschüler

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Nein, du hast

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left|(f_n(x))^2-x^2\right|=0 \end{eqnarray*}$

gezeigt! Aber für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|(f_n(x))^2-x^2\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=\infty \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

13.12.2006, 21:00

jaxxon

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Das verstehe ich nicht.

Wieso $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ?
In der Aufgabe steht doch nicht das n eine Natürliche Zahl sein muss.
Aber selbst wenn dann finde ich doch ein n das groß genug ist sodass (f_n(x))^2 = x² ist und dann ist es nicht unendlich.

13.12.2006, 21:07

Mathespezialschüler

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Es geht hier um eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ und da ist immer $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber selbst wenn dann finde ich doch ein n das groß genug ist sodass (f_n(x))^2 = x² ist und dann ist es nicht unendlich.

Ääähm, nein, findest du nicht! Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2=x^2+\frac{2x}{n}+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Und das ist sicher nicht $\begin{eqnarray*} =x^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , egal was $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß MSS

13.12.2006, 21:44

jaxxon

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Hmm ich hab nun keine Ahnung wie ich das nun aufschreiben soll.

Das vorgehen war doch bisher :

Ich zeige das beide Funktionen Punktweise konvergent sind.
Dann zeige ich das fn(x) gleichmäßig konvergiert aber (fn(x))^2 nicht.

Ich hatte am Anfang geschrieben :
Für $\begin{eqnarray*} f_n(x) = x + \frac {1} {n} \end{eqnarray*}$ gilt :
Strebt n gegen unendlich so wird $\begin{eqnarray*} \frac {1} {n} = 0 \end{eqnarray*}$
Also konvergiert die Funktionsfolge gegen x !

Nun bilde ich den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 = x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} \end{eqnarray*}$
gilt : strebt n gegen unendlich so strebt $\begin{eqnarray*} \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2} \text { gegen} 0 + 0 \end{eqnarray*}$
Also konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n(x))^2 \end{eqnarray*}$ gegen x² !

Und da sage ich doch das (fn(x))^2 gegen x^2 konvergiert. Wieso ist das da richtig und später falsch ?

13.12.2006, 21:55

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Daran ist nichts falsch. Jetzt hast du aber bei beiden erst die punktweise Konvergenz gezeigt und noch lange nicht die gleichmäßige.

Gruß MSS

13.12.2006, 22:19

jaxxon

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Hmm wie kann ich jetzt die gleichmäßige Konvergenz zeigen ?

Ich zitier dich mal aus nem anderen Threat zu dem Thema :

Zitat:

Finde doch erst einmal die Grenzfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Die Funktionenfolge konvergiert ja sicher punktweise, und zwar wogegen?
Danach kannst du $\begin{eqnarray*} |f_n-f| \end{eqnarray*}$ bilden und das Supremum davon finden.

Also das habe ich gemacht und nun kann ich schreiben :

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|f_n(x)-f(x)\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=0 \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|x-x\right|=0 \end{eqnarray*}$

Geht das so für fn(x) ?

13.12.2006, 22:23

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du sollst nicht $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ laufen lassen! Du sollst zunächst für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das Supremum der Funktion $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ finden, wobei $\begin{eqnarray*} x\in\mathrm D_f \end{eqnarray*}$ ist. Und dann bekommst du für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein solches Supremum, das ist eine reelle Zahl oder $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Und da du dann für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl (oder eben $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ) hast, hast du insgesamt eine Folge reeller Zahlen (, in der aber auch $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ vorkommen können). Und bei der lässt du dann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen.
Also immer beachten: Erst für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ das Supremum bestimmen und dann $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gehen lassen.

Gruß MSS

13.12.2006, 22:34

jaxxon

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Klingt leicht aber ich schaff es nicht das richtig umzusetzen.

Ich probier es einfach mal :

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .
Wähle ein von Epsilon abhängiges N, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid f_n(x)-f(x)\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Also gilt :

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|f_n(x)-f(x)\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=0 \end{eqnarray*}$

Haben leider nie ein Beispiel gehabt nur einen Satz dazu unglücklich

unglücklich

Sieht es so etwa für fn(x) aus ?
Dann muss ja auch noch (fn(x))² gezeigt werden unglücklich

unglücklich

(((

13.12.2006, 22:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von jaxxon
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .
Wähle ein von Epsilon abhängiges N, sodass für alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt :

$\begin{eqnarray*} \mid f_n(x)-f(x)\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

Wo benutzt du hier die Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ? Das kann ich so schon wieder für jede Folge machen ... also kann das kein Beweis sein. Du musst schon begründen, warum du so ein $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen kannst, also am besten eines angeben!
Aber berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ und danach das Supremum davon über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

13.12.2006, 22:58

jaxxon

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Zitat:

Aber berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ und danach das Supremum davon über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| = | x + \frac 1 n - x | =| \frac 1 n | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Und das gilt für ein $\begin{eqnarray*} n > \frac 1 \epsilon \end{eqnarray*}$

Für ein N > n gilt für alle x :

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|f_n(x)-f(x)\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=0 \end{eqnarray*}$

13.12.2006, 23:09

Mathespezialschüler

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Das erste ist korrekt.
Aber das mit dem Supremum nicht. Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|(f_n(x))^2-x^2\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Und das geht für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , deswegen liegt hier gleichmäßige Konvergenz vor.

Gruß MSS

13.12.2006, 23:16

jaxxon

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Aber das mit dem Supremum nicht. Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|(f_n(x))^2-x^2\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Moment :
Du meinst doch

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|(f_n(x)-x\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Und wenn dann n gegen unendlich strebt wird der Ausdruck 0 demnach ist fn(x) gleichmäßig konvergent.

Ok ich probier es mal für (fn(x))^2 :

$\begin{eqnarray*} |(f_n(x))^2-f(x)| = | x^2 + \frac {2x} {n} + \frac {1} {n^2}- x | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Oh Gott ! Muss ich das nun auch irgendwie nach n umstellen ? Wie mach ich das ? Selbst Derive verzweifelt da

13.12.2006, 23:21

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst ist $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ gilt nun

$\begin{eqnarray*} |(f_n(x))^2-(f(x))^2|=\left|\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2}\right|=\frac{2x}{n}+\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Bilde nunmal das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

13.12.2006, 23:31

jaxxon

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sup\left\{\left.\left|(f_n(x))^2-x^2\right|\ \right|\ x\in\mathbb{D}_f\right\}=\frac{2x}{n} \end{eqnarray*}$ .

Für x -> unendlich geht 2x/n ebenfalls gegen unendlich.
Also ist (fn(x))^2 nicht gleichmäßig konvergent.

Oben hattest du nen Tippfehler (siehe mein Quote) oder ?
Wenn ja dann ist alles klar und ich hab es kappiert Big Laugh

Big Laugh

13.12.2006, 23:54

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, natürlich. War ein Schreibfehler. Sollte

$\begin{eqnarray*} \sup\{|f_n(x)-x|\ |\ x\in\mathbb D_f\}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

heißen.
Das andere ist jetzt auch korrekt! Freude

Freude

Gruß MSS

14.12.2006, 00:01

jaxxon

Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank für deine Gedult mit mir Freude

Freude

Eine Frage noch :

Ich hab ja zunächst die Punktweise Konvergenz gezeigt,
reicht es wenn ich es so mache :

Für fn(x) = x + 1/n gilt :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} x + \frac 1 n =x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_n(x)-f(x)\right|=\left|x-x\right|=x \end{eqnarray*}$

Somit ist gezeigt, dass fn(x) Punktweise konvergiert.

Reicht das so ? Oder muss ich da noch mit Epsilon und N hantieren ?

14.12.2006, 00:02

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Die zweite Zeile kannst du sogar weglassen. Die erste reicht schon!

Gruß MSS

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