Lösungsraum für lineares Gleichungssystem

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06.06.2011, 20:31	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsraum für lineares Gleichungssystem Hallo Also gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b= \begin{pmatrix} 0 \\ 7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ i) Berechnen Sie den Lösungsraum für das lineare Gleichungssystem Ax=b. ii) Ist das Gleichungssystem Ax=c für jeden Vektor $\begin{eqnarray} c\in \mathbb R ^2 \end{eqnarray}$ lösbar? Zu 1) Ich hatte mir gedacht ich wende den Gaußalgorithmus auf die Matrix an, aber das bringt nicht so viel da ich 4 unbekannte und nur 2 Gleichungen habe. Fällt da jemandem was ein? zu2) Da muss ich erstmal 1) lösen
06.06.2011, 21:10	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsraum für lineares Gleichungssystem gauß ist schonmal keine schleche idee. lös es einfach mal und schau, was sich bei $\begin{eqnarray} ^t(x_1,x_2,x_3,x_4) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x_1,... \end{eqnarray}$ ergibt. sind alle einträge vom vektor x eindeutig?
06.06.2011, 21:20	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
also mit gauß gehts irgendwie nicht, ich hab dann einfach angenommen das x2 und x4 null sind und für x1= 28/9 und x3=-7/9 rausbekommen. Stimmt das so? und wie würds mit gauß gehen. Danke schon mal!!
06.06.2011, 21:27	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
zeile 2 - 2zeile 1 ergibt: $\begin{eqnarray} \left( \begin {array} {cccc\|c} 1 & -1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & 1 & 7 \end {array}\right) \end{eqnarray}$ wenn ich mich nicht arg vertan habe. fangen wir mit der zweiten zeile an. löse $\begin{eqnarray} 3 \cdot x_2 - 9 \cdot x_3 + 1 \cdot x_4 = 7 \end{eqnarray*}$ mal nach x_2 auf. was sagt dir das ergebnis?
06.06.2011, 21:40	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt $\begin{eqnarray} x_2=\frac{7}{3}+3x_3-\frac{1}{3}x_4 \end{eqnarray}$ rausbekommen. Im grunde sagt das mir, dass x_2 nicht mehr von x_1 abhängt.
06.06.2011, 21:46	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
wähle x_3 und x_4 mal völlig nach lust und laune. rechne x_2 dann aus und setze es mal in die obere gleichung. was hälst du vom ergebnis? edit: oder anders gefragt, kannst du dir vorstellen, worauf ich damit hinaus will?
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06.06.2011, 21:55	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
achso also kann ich auch sagen dass x3 und x4 z.B allgemein gefasst alpha und beta sind? x1=0?
06.06.2011, 22:03	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
halb richtig. x_3 und x_4 sind völlig frei wählbar. x_2 hängt dann von x_3 und x_4 ab. wenn du x gleichungen hast und y unbekannte, dann kannst du y-x unbekannte in abhängigkeit von den anderen bestimmen, der rest ist frei wählbar. jetzt löst du $\begin{eqnarray} 1 \cdot x_1 - 1\cdot x_2 + 4 \cdot x_3 + 0 \cdot x_4 =0 \end{eqnarray}$ nach x_1 auf, wobei du dein schon errechnetes x_2 einsetzt.
06.06.2011, 22:10	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
puhhh also ich hab jezt mal x3=1 und x4=2 gesetzt. Dann hatte ich ja x2=14/3 rausbekommen. Das habe ich in die erste Gleichung eingesetzt also auch x3 und x4 und habe für x1=2/3 rausbekommen, somit hat mein L=(2/3;14/3;1;2)?
06.06.2011, 22:14	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
args nene. du hast dein x_2 schon in abhängigkeit von x_3 und x_4 bestimmt. das mit dem "frei wählen" sollte dir nur zeigen, dass... nun x_3 und x_4 frei wählbar sind für das berechnen deines lösungsraumes bleibst du noch völlig abstrakt. also bestandsaufnahme: x_2 bestimmt, x_3 frei wählbar x_4 frei wählbar. fehlt noch das bestimmen von x_1. gleichung hab ich dir schon hingeschrieben, nun nur noch nach x_1 lösen.
06.06.2011, 22:20	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
ok nach x1 aufgelöst kommt: x1=14/3-4x3 Dann ist mein Lösungsraum für x3=alpha und x4=beta -->(14/3-4alpha;14/3;alpha;beta) wobei alpha,beta element aus dem R sind.
06.06.2011, 22:32	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
von der struktur richtig, bist aber irgendwo falsch abgebogen. Lösungsraum= $\begin{eqnarray} \{^t(-4\alpha+\frac{7+9\alpha - \beta}{3},\frac{7+9\alpha - \beta}{3},\alpha, \beta)\|\alpha, \beta \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ hoffe ich hab mich jetzt nicht verrechnet. alle vektoren der beschriebenen form liegen in deinem lösungsraum.
06.06.2011, 22:40	Xeno1999	Auf diesen Beitrag antworten »
hi ich habs eben auch nochmal mit alpha und beta gerechnet und hab das selbe raus. Ist es eigentlich egal ob man mit x2 anfängt oder hätte ich auch x1 und x3 frei wählen können? und zur 2 aufgabe. im grunde kann ich ja Ax=c für jedes c lösen bis auf den nullvektor?
06.06.2011, 22:50	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
vom grundsatz kannst du auch andere variablen als "frei wählbar" bestimmen und den rest dann davon abhängig bestimmen. da du aber von einer stufenform ausgehen solltest, macht es sinn, sich von "hinten nach vorne" durchzuarbeiten. so verrennt man sich nicht. so kann man sich variable für variable und zeile für zeile weiter hocharbeiten, bis man das ergebnis hat. kann es übrigens sein, dass du die lösungs"menge" bestimmen sollst? lösungs"raum" heißt eigentlich, dass der nullvektor enthalten sein müsste... zu aufgabe 2: nun, ich könnte mir kein c vorstellen, was sich nicht erreichen lässt.

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