Vektorraum

07.06.2011, 09:55	fre4k	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum Hallo Ich sitze gerade vor folgendem Beispiel: a.) Man soll nachweisen, dass alle Matrizen mit der Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c & a & c \\ a & b & a \\ c & a & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , für alle a,b,c reell , einen Vektorraum bilden. Welche Dimension hat der Vektorraum? b.) Warum bilden alle Matrizen mit der Gestalt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} c & a & 1 \\ a & b & a \\ 1 & a & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ keinen Vektorraum: Lösungsansatz zu a.) Also also die ersten zwei Spaltenvektoren sind linear unabhängig und den 3ten kann man mit einer Lineakombination der ersten zwei darstellen also würde ich sagen dass es sie hier um den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Vektorraum handelt also mit der Dimension 2. b.) bin ich noch am überlegen was sagt ihr dazu ? mfg
07.06.2011, 10:10	Cosinuspihalbe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum schau dir nochmal die definition von vektorräumen an und prüfe formal die kriterien für a), schließlich sollst du es ja nachweisen. dabei wird dir auch auffallen, warum b) kein raum sein kann.
07.06.2011, 16:12	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Ein Vektorraum ist eine Menge, bei der jede Linearkombination zweier Elemente wiederum in der Menge liegt. Betrachtet man also zwei Elemente (hier Matrizen) $\begin{eqnarray} A_1, A_2 \end{eqnarray}$ mit den Zahlen $\begin{eqnarray} a_1, b_1, c_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2, b_2, c_2 \end{eqnarray}$ , so ergibt die Linearkombination $\begin{eqnarray} \alpha A_1+\beta A_2 \end{eqnarray}$ eine neue Matrix mit den Elemente $\begin{eqnarray} \alpha a_1+\beta a_2, \alpha b_1+\beta b_2, \alpha c_1+\beta c_2 \end{eqnarray}$ . Die neue Matrix ist also vom gleichen Typ und liegt somit wiederum in der genannten Menge. Das o.g. Kriterium ist somit erfüllt zu b) Offenbar gilt das genannte Kriterium hier nicht, denn die konstanten Matrixelemente 1 würden sich bei Linearkombinationen ändern.

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