zwei differenzierbare Funktionen (Mittelwertsatz??)

07.06.2011, 10:22

cybersepp

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zwei differenzierbare Funktionen (Mittelwertsatz??)

Meine Frage:
Hallo,
ich komm mit folgender Aufgabe überhaupt nicht zurecht:

Es seien $\begin{eqnarray*} f, g: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei differenzierbare Funktionen. Es sei $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Es gelte

$\begin{eqnarray*} f(a) \geq g(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x) \geq g'(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$

Man zeige:
$\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$

(Hinweis: Betrachten Sie die Funktion F: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \Rightarrow \mathbb R , F(x) = f(x) - g(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Muss ich hier irgendwie den Mittelwertsatz anwenden, oder wie gehe ich hier vor?

Ich weiß, dass laut Angabe ja, dass beide Funktionen diffbar, also auch stetig sind.

Kann mir vielleicht wer weiter helfen? Danke schon mal

07.06.2011, 20:34

cybersepp

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jemand eine Idee / Ansatzpunkt?

07.06.2011, 20:38

Huy

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Warum folgst du nicht einfach dem Hinweis?

MfG

07.06.2011, 20:56

cybersepp

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Den Hinweis verstehe ich nicht. Wollen die mir damit sagen, dass ich F(x) als "Mittelwertsatz f" nehmen soll.

also als f für folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f'(\Im) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \end{eqnarray*}$

???

07.06.2011, 22:00

Huy

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Nein und ich finde das unheimlich, dass du bei jeder Aufgabe intuitiv gleich an den Mittelwertsatz der Differentialrechnung denkst. Zu zeigen ist

$\begin{eqnarray*} F(x) \geq 0 \text{ für } x \geq a. \end{eqnarray*}$

Was ist $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ ? Was ist $\begin{eqnarray*} F'(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ ? Was kannst du daraus schliessen?

MfG

07.06.2011, 22:17

cybersepp

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Big Laugh

Ja,ja dieser Mittelwertsatz, der verfolgt mich heute irgendwie.. Ich glaub ich sollte unseren Professor nicht zu ernst nehmen mit seiner Aussage, der Mittelwertsatz ist sehr sehr wichtig, damit kann man fast jede Aufgabe lösen....

Wie kommst du denn darauf, dass $\begin{eqnarray*} F(x) \geq 0 \text{ für } x \geq a. \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist?

Also

$\begin{eqnarray*} F(a) = f(a) - g(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F'(x) = f'(x) - g'(x) \end{eqnarray*}$

wohin genau das führt seh ich leider noch nicht...

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07.06.2011, 23:06

Huy

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Zitat:

Original von cybersepp
Wie kommst du denn darauf, dass $\begin{eqnarray*} F(x) \geq 0 \text{ für } x \geq a. \end{eqnarray*}$ zu zeigen ist?

Tu mir den Gefallen und finde wenigstens DAS selbst raus...

MfG

07.06.2011, 23:33

cybersepp

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ich hätte erst gedacht weil:

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$ ist, aber wer sagt mir denn, dass f(x) und g(x) nicht beides negative Zahlen sind?

....ok, darauf hätte man auch selbst kommen können. Ich hab bei f(x) - g(x) das "-" nicht wahrgenommen

-> Wenn beides negative Zahlen sind, dann wird F(x) ebenfalls positiv!

07.06.2011, 23:36

Huy

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Okay. Und versuche jetzt ähnlich eine Aussage über F(a) und F'(x) für x >= a zu machen.

MfG

07.06.2011, 23:45

cybersepp

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dann würde ich genau so vorgehen wir bei F(x), also:

$\begin{eqnarray*} F(a) = f(a) - g(a) \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} F(a) \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(x) = f'(x) - g'(x) \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} F'(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$

07.06.2011, 23:47

Huy

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Ok, und wenn F'(x) >= 0 für x >= a, können wir dann irgendwas über F(x) für x >= a aussagen?

MfG

07.06.2011, 23:50

cybersepp

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Wenn die Ableitung positiv ist, dann haben wir eine positive steigung (monoton steigender Graph) für F(x)

ich befürchte aber, darauf wolltest Du nicht hinaus!?

07.06.2011, 23:52

Huy

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Doch, denn wenn F(a) >= 0 und F(x) für x >= a monoton steigt, dann ... ? (q.e.d)

MfG

07.06.2011, 23:57

cybersepp

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Damit zeige ich das:

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ ???

Zitat:

denn wenn F(a) >= 0 und F(x) für x >= a monoton steigt, dann ... ?

Ja, genau an dem Punkt scheitert es grade bei mir. Ich kann mir das grad leider logisch nicht erklären was daraus folgt.

08.06.2011, 13:43

Auli

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Zitat:

Original von cybersepp
Damit zeige ich das:

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ ???

Zitat:

denn wenn F(a) >= 0 und F(x) für x >= a monoton steigt, dann ... ?

Ja, genau an dem Punkt scheitert es grade bei mir. Ich kann mir das grad leider logisch nicht erklären was daraus folgt.

Das heisst gleichzeitig auch dass F(x) >= 0 f.a. x >= a gilt.
Überleg dir doch mal was F(x) beschreibt und wann F(x) postiv bzw negativ ist.

Gruß

08.06.2011, 15:16

cybersepp

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F(x) beschreibt die Differenz von f(x) zu g(x)

F(x) ist positiv, wenn f(x) > g(x)
und negativ wenn f(x) < g(x).

Aber zeige ich damit dass
$\begin{eqnarray*} f(x) \geq g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \geq a \end{eqnarray*}$ ??

Tut mir leid, aber der Finale / entscheidende Schritt ist bei mir noch nicht angekommen.
Gruß

08.06.2011, 16:49

Auli

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Eine Funktion die an der Stelle a größer Null ist und eine Ableitung hat die größer Null ist für alle x, die größer als a sind ist diese Funktion für alle x größer als a größer als 0 Null.

also ist F(x)>=0 f.a. x>=a, also ist f(x)=>g(x) f.a. x>=a

kurzum:
Ja das zeigst du damit.

08.06.2011, 17:23

cybersepp

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Dankeschön an euch beiden für die Hilfe!!! Ich schau mir das einfach noch besser an und werde das dann schon verstehen (hoffe ich doch, ansonsten gibt's den nächsten Beitrag hier von mir Big Laugh

Big Laugh

)

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