Funktionsgrenzwerte

07.06.2011, 11:06

Icheben3

Funktionsgrenzwerte

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2)-1}{x^3\sin(x)} \end{eqnarray*}$
-> mit Potenzreihendarstellung
-> mit Hopital

Also zum ersten Teil:
ich habe das ganze also Potenzreihen geschreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{(2n)!}\cdot x^{4n}\right)-1}{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+1}\right) \cdot x^3} \end{eqnarray*}$

das kann man dann vereinfachen zu:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1))!}\cdot x^{4(n+1)}\right)}{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+4}\right)}=\lim_{x \to 0}\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^1}{(2n+2)}\cdot x^{2n}\right) \end{eqnarray*}$

Aber ab hier komme ich nicht mehr weiter.

Zum zweiten Teil:
Ich habe Hopital anwenden wollen komme aber nie auf einen Ordentlichen Grenzwert. Muss ich vielleicht irgendwas beachten?

07.06.2011, 11:18

Icheben3

Auf diesen Beitrag antworten »

hat sich erledigt...war wohl heute morgen doch schon zu früh smile

07.06.2011, 11:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe mal, dass Teil dieser Besinnung war zu erkennen, dass diese Umformung

Zitat:

Original von Icheben3
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1))!}\cdot x^{4(n+1)}\right)}{\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\cdot x^{2n+4}\right)}=\lim_{x \to 0}\sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{(-1)^1}{(2n+2)}\cdot x^{2n}\right) \end{eqnarray*}$

total falsch ist.

07.06.2011, 11:37

Icheben3

Auf diesen Beitrag antworten »

öhm nein!?

wieso soll der falsch sein?

ich meine, klar ist es nicht üblich aus summen zu kürzen...aber in diesem spezialfall wo es doch um den $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ handelt kann man das doch so machen!?

07.06.2011, 14:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil deine Rechnung so aussieht, als würdest sowas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n}{\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n} \stackrel{?}{=} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray*}$ .

rechnen. Ganz egal, ob dieses Vorgehen bei dir im Grenzwert zufällig mit dem richtigen Ergebnis übereinstimmt, das ist ganz einfach eine fürchterlich falsche Regel, die du schleunigst aus deinem Gedächtnis streichen solltest.

Und noch dazu ist das vollkommen unnötig, es geht doch auch seriös: Ziehe sowohl in Zähler als auch Nenner von

Zitat:

die niedrigste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Potenz heraus, und kürze dann. Anschließend kannst du in Zähler und Nenner getrennt die Grenzwerte berechnen.

Neue Frage »

Antworten »

Funktionsgrenzwerte

Verwandte Themen