Aufgabe zur Tangentialebene einer Kugel

12.12.2006, 21:32

hakeem88

Aufgabe zur Tangentialebene einer Kugel

erstmal die problem-aufgabe:

gegeben sind die kugeln $\begin{eqnarray*} K_1: [\vec{OX}-\begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 7 \end{pmatrix} ]^2 =100 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} K_2: [\vec{OX}-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ]^2 =52 \end{eqnarray*}$

a) zeige dass $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ einander schneiden. Ermittle den Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} M^{*} \end{eqnarray*}$ und den Radius $\begin{eqnarray*} r^{*} \end{eqnarray*}$ des schnittkreises k.

restlichen aufgaben die ich auch bearbeiten soll, aber a) soll als erstes bearbeitet werden und hat priorität:

b) bestimme eine gleichung der ebene $\begin{eqnarray*} E^{*} \end{eqnarray*}$ , in der der schnittkreis k liegt.

c) ermittle das bild der kugel $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ , das bei der spiegelung an der ebene $\begin{eqnarray*} E^{*} \end{eqnarray*}$ entsteht.

ich weiß immer nicht wie ich anfangen soll.. also wie ich die aufgabe angehen soll... könntet ihr mir denkanstöße geben??

vielen dank im vorraus...

MfG
Hakeem88

12.12.2006, 22:57

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis:

Wenn die Kugeln einander schneiden sollen, muss doch der Abstand der beiden Mittelpunkte kleiner als die Summe der beiden Radien sein ...

mY+

13.12.2006, 20:56

hakeem88

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... habe den abstand der mittelpunkte ausgerechnet... der ist 12 ... aber wie errechne ich den radius des kreises... wenn ich nur den mittelpunkt der kugel habe??

13.12.2006, 21:02

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Kugelgleichung ist doch auch der Radius zu erkennen (sein Quadrat!)

mY+

13.12.2006, 21:29

hakeem88

Auf diesen Beitrag antworten »

ach die 100 und 52 ... also ist $\begin{eqnarray*} r_1=10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2=7,2 \end{eqnarray*}$ und zusammen ist das 17,2 ...also mehr als der abstand der beiden mittelpunkte... das ist der beweis das sich die beiden kugel schneiden... ok...

jetzt will ich die ebenengleichung $\begin{eqnarray*} E^* \end{eqnarray*}$ dafür muss ich die beiden gleichung von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ subtrahieren.

also $\begin{eqnarray*} K_1 - K_2 \end{eqnarray*}$ das macht:

$\begin{eqnarray*} E^*: \begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 8 \end{pmatrix} *\vec{OX}=?? \end{eqnarray*}$

muss man dann da 100 - 52 machen ?? also dann 48 ??

und weiter?? wie berechne ich den Mittelpunkt des Schnittkreises $\begin{eqnarray*} M^* \end{eqnarray*}$ und den radius $\begin{eqnarray*} r^* \end{eqnarray*}$ ????

vielen dank im vorraus

13.12.2006, 21:45

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Ebenengleichung musst du beide auf Null gebrachte Kugelgleichungen subtrahieren (deshalb geschieht dies freilich auch für 100 und 52, ja).

In dieser Ebene liegt der Schnittkreis. Sein Mittelpunkt M3 liegt auf der Verbindung M1M2 der beiden Kugelmittelpunkte. Zeichnest du noch die Berührungsradien ein, so entstehen rechtwinkelige Dreiecke, woraus dann der Radius des Schnittkreises leicht zu ermitteln ist.

mY+

P.S: Bitte "voraus" mit einem "r".

13.12.2006, 21:59

hakeem88

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Für die Ebenengleichung musst du beide auf Null gebrachte Kugelgleichungen subtrahieren (deshalb geschieht dies freilich auch für 100 und 52, ja).

das heißt dann die erste gleichung minus 100 =0 und das ganze mit der zweiten gleichung subtrahieren... da habe ich raus...

$\begin{eqnarray*} E: -8*x_1+16*x_2-16*x_3+40 \end{eqnarray*}$

danke im voraus...

das mit den berührungsradien rechne ich gleich noch schnell

13.12.2006, 22:08

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

EbenenGLEICHUNG, rechts fehlt = 0, diese kannst du noch kürzen!

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Aufgabe zur Tangentialebene einer Kugel

Verwandte Themen