Bild und Kern lineare Abbildung

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mathenoobie Auf diesen Beitrag antworten »
Bild und Kern lineare Abbildung
Meine Frage:
Hi!,
ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Blick leider gar nicht bei der Aufgabe durch :S -->

Berechne Bild und Kern:
g: R^4-> R^2: (v1,v2,v3,v4)transponiert -> (v1,2v2,2v2,v3)


Im ersten Lösungsschritt wird gesagt, dass für g gilt: g((0,0,0,1)T) = 0
und g((-2,1,-2,0)T und dass dann die beiden Vektoren dann Teilmenge vom Kern (g) wären. Wie kommt man darauf? Ich weiss leider gar nicht, wie man auf diesen Schritt kommt bzw. was er zu bedeuten hat. Um Hilfe wäre ich sehr dankbar =)

Meine Ideen:
Meine Idee wäre, dass ich schonmal 2 Vektoren brauche, weil es auf dem R^2 dargestellt werden soll. Ansonsten könnten diese evtl. linear unabhängig sein, aber weiss nicht, woran man das festmachen könnte.
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
die aufgabe macht keinen sinn. wenn du von R^4 auf R^2 abbildest, dann kann kein 4-er tupel als bild herauskommen.
mathenoobie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
oh bei dem abschrieb hätte es doch wohl heißen müssen:

g: R^4-> R^2: (v1,v2,v3,v4)transponiert -> (v1 + 2v2, 2v2 + v3)

Sry somit kommt doch ein R^2 raus, bin leider aber immer noch nicht schlauer =)
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
der begriff "kern" scheint dir noch nicht völlig klar zu sein.

die menge aller elemente der definitionsmenge, die auf das neutrale element der zielmenge abbilden, bildet den kern der abbildung.

(wichtig, dass du das mit dem "neutralen element" abspeicherst. das kann unter umständen ganz unterschiedlich aussehen)

hier schient aber einfach nur das additiv neutrale element gemeint zu sein.

also schaust du, was für v1, v2 und v3 gelten muss, damit (v1+2v2, 2v2+v3) zu (0,0) wird.
und dann schaust du, welche vektoren (v1,v2,v3,v4) auf die (0,0) abgebildet werden.
mathenoobie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
ah vielen dank, das bringt mich schon ein stück weiter

also ich schaue was für v1,v2,v3 gelten muss, damit (v1+2v2, 2v2+v3) zu (0,0) wird.
ich glaub das abstrakte ist hier mein problem. ich habe doch gar keine relationen, dass ich sagen kann wann diese zu (0,0) werden; vor allem verwirrt mich dann die lösung,
z.B. dass g((-2,1,-2,0)T) = 0 sein soll. Wäre das so zu verstehen, dass -2*Vektor1 + 2*Vektor = 0 und -2*Vektor2 + 0*Vektor3 = 0 ?? Irgendwie werd ich damit nicht warm oder hab nen dicken Denkfehler ;s
vor allem bleibt mir dann auch (g((0,0,0,1)T) = 0 unerklärlich...
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
wir bekommen erstmal 2 gleichungen:

v1+2v2=0
2v2+v3=0

also ist

v1=-2v2
v3=-2v2

daran können wir ablesen, dass v1=v3 gelten muss und dass v1=v3=-2v2 gelten muss. was wissen wir über v4?

gibt es einträge, die wir beliebig wählen können? wenn ja, hängen andere einträge von unserer wahl des konkreten vertreters (also was wir wirklich als zahl für einen platzhalter einsetzen) ab?
 
 
mathenoobie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
danke =)

v4 hat glaube ich keine Relevanz mehr, weil dieser ja nicht mehr abgebildet wird. Ansonsten dürften die Einträge doch aufgrund des linearen Gleichungssystems abhängen. v3 müsste man doch aufgrund der linearen abhängigkeit eliminieren können oder ?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich den kern berechnen will, dann mach ich das immer so:

also ich stelle das ganze zeug um, so wie du das da jetzt hast:

v1=-2v2=v3 und v4 ist egal
dann schreib ich mir das so in den vektor und setze das ein

also man versucht, das alles so umzustellen, dass du soviel wie möglich mit einem v ausdrücken kannst. dann teilst du die vektoren so auf, dass du pro vektor nur ein v hast, also nicht v2 und v4 zusammen.
dann lässt man das v2 und v4 weg und du hast die Vektoren

hoffe, das hilft dir etwas
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
richtig, v4 ist völlig unabhängig von den anderen und kann frei gewählt werden.

wir taufen v4 nun einfach "d" und schreiben für v4 nun d.

du hast erkannt, dass v1,v2,v3 nach einer festen gesetzmäßigkeit zusammenhängen müssen, sofern du nachher den nullvektor (0,0) herausbekommen willst.

zumindest glaube ich, dass du dies mit "linearer abhängigkeit" meinst. innerhalb eines vektors sprechen wir aber nicht von linearer abhängigkeit - nur wenn wir 2 vektoren vergleichen.

wir können bei v1,v2,v3 also einen frei wählen und der rest hängt davon ab. wir nehmen einfach v3 und taufen es "c" und schreiben für v3 nun c.

daraus ergibt sich, dass

v1=c
v2=c/(-2)

also alle vektoren der form mit werden auf (0,0) abgebildet.

soweit zum kern.

nun kannst du knobeln, welche vektoren du mit (v1+2v2, 2v2+v3) "treffen" kannst, um das bild zu "berechnen".
Cosinuspihalbe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild und Kern lineare Abbildung
hamsterchens weg ist ein schönes beispiel, macht es etwas plastischer.

sie hat jedoch v2 frei gewählt und einfach 1 für v2 eingesetzt. achte nur darauf, dass die letzten vektoren (one v4 und v2) nur einen konkreten vertreter des kerns darstellen.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja man muss ja jetzt das erzeugnis dieser beiden vektoren nehmen, um den kern zu erhalten. das schreibt man dann so:



d.h. du kannst beliebige vielfache dieser beiden vektoren nehmen und sie auch noch addieren, egal was du machst, das ergebnis ist dann immernoch im kern.
mathenoobie Auf diesen Beitrag antworten »

super erklärt, hab alles verstanden!

vielen lieben dank smile
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