Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X geszucht sind E(X) und V (X).

07.06.2011, 14:45	Eye12524	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X geszucht sind E(X) und V (X). Meine Frage: geg. Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X sei $\begin{eqnarray} fx(x)=\begin{pmatrix}0, falls IxI \geq 1 \\ <br /> \frac{3-3x²}{4}, falls IxI > 1<br /> <br /> \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ges. sind E(X) & V(X) Meine Ideen: $\begin{eqnarray} <br /> E(X)= \int_{+\infty}^{-\infty} \! x f(x) \, dx = mue<br /> <br /> E(X)= \int_{1}^{+\infty} \! x * f(x) \, dx + <br /> \int_{0}^{1} \! x * f(x) \, dx <br /> = o + \int_{0}^{1} \! \frac{(3x-3x^3)}{4} dx <br /> = \left[\frac{0,75x^2}{2} x- \frac{3x^3}{3} \right]_{0}^{1} <br /> = (0375-1) -0= 0,625 \end{eqnarray}$ :/ ich weiss nicht so recht ob das stimmen kann?! Ich hab so im Gefühl etwas vergessen zu haben. $\begin{eqnarray} V(X) = \int_{+\infty}^{-\infty} \! (x - mue)^2 * f(x) \, dx = sigma^2 \end{eqnarray*}$
07.06.2011, 15:46	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Notation ist durchweg leider sehr unübersichtlich. Benutze bitte den Formeleditor. Außerdem glaube ich nicht, dass die Dichte als Parameter (?) ihr Funktionsargument besitzt. Davon abgesehen ist die Fallunterscheidung bei der Definition widersprüchlich. Ich vermute, Du meinst eher das hier, was insbesondere tatsächlich eine Dichte ist: $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} 0 & \|x\| \geq 1 \\ \frac{3 - 3t^2}{4} & \|x\| < 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ . Theoretisch könntest Du aber auch eine paramterabhängige Funktion (ungünstig als $\begin{eqnarray} fx(x) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} ft(x) \end{eqnarray}$ oder wie auch immer notiert) gemeint haben. Bitte schreibe deutlichen Latex-Code, siehe auch unser Tutorial. Beim Erwartungswert solltest Du außerdem bedenken, dass $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty xf(x) \mathrm{d}x = \int_{-1}^1 xf(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ ist. Edit: Tutorial-Link korrigiert und gemeint war natürlich: $\begin{eqnarray} f(x) := \begin{cases} 0 & \|x\| \geq 1 \\ \frac{3 - 3x^2}{4} & \|x\| < 1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Danke an Math1986 für die Hinweise.
07.06.2011, 16:21	Eye12524	Auf diesen Beitrag antworten »
ja deine Dichte Fkt war richtig, sry wegen der Fehler. aber warum geht die Erwartungsfkt von 1 bis -1? ich hab mir inzwischen ein paar Aufg. zu dem Thema angesehen und in einer war der Lös-Ansatz das ich c aus der Dichte Fkt berechne $\begin{eqnarray} \int_{1}^{+\infty } \! f(x)c \, dx + \int_0^1 \! f(x)* c \, dx = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 + \int_0^1 \! \frac{3-3x^2}{4} * c \, dx = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[c( \frac{3x-3x^2}{4})\right]_{0}^{1} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[c(\frac{3x}{4} - \frac{0,75x^3}{3} )\right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c* 0,75-\frac{0,75}{3} =1\Rightarrow c=\frac{5}{3} \end{eqnarray}$ im nächsten Schritt habe ich mit diesem Wert in E(X) weitergerechnet $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! x * \frac{5}{3}(\frac{3-3x^2}{4}) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{5x}{4} - \frac{5x^3}{4} \, dx \end{eqnarray}$ daraus erhalte ich dann ein Ergebnis von 0,3125 ist der Ansatz auch komplett Falsch?
07.06.2011, 16:44	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist richtig, nur der Integrationsbereich geht, wie zweiundvierzig schon gesagt hat, von -1 bis 1, da $\begin{eqnarray} \|x\|<1\Rightarrow -1<x<1 \end{eqnarray}$ (und außerhalb 0) Rechne die Aufgabe nochmal mit den richtigen Grenzen
07.06.2011, 19:08	Eye12524	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{-1}^{+1 } \! f(x)c \, dx= 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \! \frac{3-3x^2}{4} * c + 0 \, dx = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[c( \frac{0,75x}{1}+ \frac{0,75x^3}{3})\right]_{-1}^{1} =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c( 0,75-\frac{0,75}{3}-(\frac{-3}{4} +\frac{-3}{4}) =1\Rightarrow c=0,5 \end{eqnarray}$ in E(X) $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \! x \frac{1}{2}(\frac{3-3x^2}{4}) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[ \frac{3,75x^2}{2} - \frac{3,75x^4}{4}\right]_{-1}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1,875 - 0,9375 -( 1,87 - 0,9375)= 0 \end{eqnarray}$ ich bin noch immer wackelig ob das jetzt richtig ist ?___? soferns nicht stimmt könnte mir jemand das Ergebniss nennen?
07.06.2011, 22:42	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau kommt bei dir das c her? Die Definition des Erwartungswertes ist doch $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty xf(x) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ und in der Definition deiner Dichtefunktion taucht dieses ominöse c auch nirgens auf. Zu berechnen ist also in deinem Fall: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^\infty xf(x) \mathrm{d}x = \int_{-1}^1 x\cdot \frac{3-3x^2}{4} \mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Das ist also nur noch ein einfaches Integral
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