Taylorpolynom Mehrdimensional

07.06.2011, 15:47	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorpolynom Mehrdimensional Hallo, beim Mehrdimensionalen Taylorpolynom hab ich noch einige Schwierigkeiten und würde mich über Unterstützung freuen. Folgende Übungsaufgabe beschäftigt mich gerade: Entwickeln sie f: $\begin{eqnarray} f: \mathbb R ^{21} \to \mathbb R, (x,y) \to x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^3 \end{eqnarray}$ nach Potenzen von (x-1) und (y-2) Erster Unsicherheit:* Die Fragestellung ist doch gleichbedeutend mit Entwickeln sie im Punkt (1,2) oder? Danach benötigt man ja die partiellen Ableitungen. Also $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^3+x^2y+y^2x+y^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{x}f(x,y) = 3x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{y}f(x,y) = x^2+2xy+3y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{x,y} f(x,y) = \partial_(y,x) f(x,y) = 2y+2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{x^2} f(x,y) = 6x + 2y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{y^2} f(x,y) = 6y+2x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{xy^2} f(x,y) = \partial_{x^2y} f(x,y) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{x^3} f(x,y) = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \partial_{y^3} f(x,y) = 6 \end{eqnarray}$ Alle weiteren partiellen Ableitungen wären ja Null Zweite Unsicherheit: Ich entwickel schon noch allen Graden und muss mir nichts für mein Restglied "aufheben" oder? Zumal ein Taylorpolynom ja (zumindest in 1D) ein approximierendes Polynom ist. Da unsere Funktion hier ebenfalls ein Polynom ist, dürfte kein Restglied von nöten sein Dritte Unsicherheit: Das Einsetzen Als Entwicklungspunkt haben wir ja x=(1,2). Als Formel haben wir gegeben $\begin{eqnarray} f(x+h)=f(x)+ \partial_{h}f(x)+ \frac{1}{2}\partial_{h}^2f(x)+...+\frac{1}{p!}\partial_{h}^pf(x)+R_{p}(x,h) \end{eqnarray}$ wobei R_p das Restglied bezeichnet. Alternativ mit Multiindex-Schreibweise (ich hoffe die ist in gleicher/ähnlicher Form allgemein bekannt $\begin{eqnarray} f(x+h)=\sum\limits_{\alpha \leq p} \frac{1}{\alpha!}\nabla^{\alpha}f(x)h^{\alpha}+R_p(x,h) \end{eqnarray}$ Bei der ersten Formel ist mein Problem das $\begin{eqnarray} \partial_{h}f(x) \end{eqnarray}$ . Was bedeutet das? Das ist ja die Richtungsableitung in Richtung h. Mein h ist doch aber ganz allgemein h=(h_1,h_2)? Eigentlich müsste ich ja mit meinen Partiellen Ableitungen auskommen. Bei der zweiten Formel bin ich mir beim einsetzen nicht ganz sicher. $\begin{eqnarray} \|\alpha\|=2 \end{eqnarray*}$ fasst ja zum Beispiel die zweifache Ableitung in x beziehungsweise in y Richtung, sowie die einfache Ableitung in x und y Richtung zusammen (ich hoffe es ist klar was ich meine). Wie setze ich das dann in obige Formel ein? Es sind ja 3 verschiedene alphas, alpha = (2,0), alpha = (1,1) und alpha = (0,2)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »