Limes bestimmen

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Informatik-Studi Auf diesen Beitrag antworten »
Limes bestimmen
Hallo zusammen,

habe eine Frage zu folgender Aufgabe:


Mein einziges Problem bei solchen Aufgabe ist das ich nicht weiss wie ich auf folgendes kommen soll:



also dieses

Anderes Beispiel:



Woher weiss ich nun das gleich ist?


Gibts da eine bestimmte Vorgehensweise die ihr mir ans Herz legen könnt?

Im Voraus schonmal herzlichen Dank smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind einfach Formeln, die teilweise seit Jahrtausenden bekannt sind.
Die Zahlen 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, ... haben schon die alten Griechen als sogenannte Dreieckszahlen untersucht. Und daß 1, 1+3, 1+3+5, 1+3+5+7, ... gerade die Quadratzahlen sind, ist, glaube ich, ebensoalt. Das Letzte kann man sich auch leicht geometrisch klarmachen. Nimm ein Karopapier und markiere ein Kästchen. Jetzt lege um das Kästchen herum einen rechteckigen Haken aus 3 Kästchen, um die neue Figur dann einen rechteckigen Haken aus 5 Kästchen usw.
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »

Naja und das 1+2+3+...+n =n(n+1)/2 ist hat sich mal so ein netter Typ namens Gauß ausgedacht...
Als er SChüler war, bekam er die Aufgabe die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren und er konnte seinem Lehrer verblüffender WEise schnell sagen, dass es 5050 sind.
Warum, er hat sich die Formel da oben überlegt...
Du kannse diese Formel per vollständiger induktion zeigen.
Andy
Informatik-Studi Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke "Dreieckszahlen" war das Stichwort das ich gebraucht habe.

Für alle anderen hier die Erklärung:





Geht nun folgendermaßen vor:

1+3+5+7+...

(1) = 1
(1+3) = 4
(1+3+5) = 9
(1+3+5+7) = 16
...usw. aus 1,4,9,16... erkennt man nun sehr schnell, dass ist

Hier noch ein paar Beispiele:

Dreieckszahlen
=> 1+2+3+...+n
=> 1 3 6 10 15 21 28...
=> n*(n+1)/2

Quadratzahlen
=> 1+3+5+...+(2n-1)
=> 1 4 9 16 25 36 49...
=> n²

Fünfeckszahlen
=> 1+4+7+10+...+(3n-2)
=> 1 5 12 22 35 51 70...
=> n*(3n-1)/2

Sechseckszahlen
=> 1+5+9+13+...+(4n-3)
=> 1 6 15 28 45 66 91...
=> n*(4n-2)/2

Siebeneckszahlen
=> 1+6+11+16+...+(5n-4)
=> 1 7 18 34 55 81 112...
=> n*(5n-3)/2

Achteckszahlen
=> 1+7+13+19+...+(6n-5)
=> 1 8 21 40 65 96 133...
=> n*(3n-2)

um auf die allgemeine Formel zu kommen (jeweils 3. Zeile):
z.B.:


=>1 3 6 10 15

=>für n=1,2,3,4,5...

=>

=>

=>
...usw.
man erkennt nun: wächst um an, also
und das ganze n mal

=>

Ist eigentlich ziemlich primitiv - ich denke aber auch wenn es einem nicht bekannt ist, ist es ein Problem beim lösen solcher Limes Aufgaben.

Danke nochmal an Leopold & Deakandy
LyriaEL Auf diesen Beitrag antworten »

*altesthemawiederausgrab*

aaalso, wir haben in der schule gerade mit Zahlenfolgen und Reihen angefangen. Als Hausaufgabe sollten wir ein bisschen mit Drei- und Fünfeckszahlen experimentieren. Das die Dreieckszahlen formel hab ich raus bekommen *stolzist* und sogar mit erklärung.
Bei der fünkecksformel sieht das schon ganz anders aus. Ich komm auf keinen grünen zweig. Aber gibt es überhaupt eine logische erklärung für die formel n(3n-1)/2 ? (ich meine, die formel zu finden ist nicht schwer, ... aber das verstehen?)
Ich sehe gewisse ähnlichkeiten mit der der dreieckszahlen, die ist ja n(n+1)/2. Da habe ich mir das einfach als flächenrechnung vorgestellt und dann machte das ganze sinn.
n als länge und n+1 als breite, durch zwei, weil es ein dreieck ist.

hm... hilfe?
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