Differenzierbarkeit von Integralen

07.06.2011, 16:22

alex2007

Differenzierbarkeit von Integralen

Ich soll zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R, \,\,f(y)=\int_{-\infty} ^\infty \! \cos(xy) e^{-x^{2}} \, dx \end{eqnarray*}$

differenzierbar ist und ich soll $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich weis, das gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! e^{-x^{2}} \, dx =\sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ und das darf ich verwenden.

Nun habe ich Probleme einen Ansatz zufinden, wie ich die Differenzierbarkeit einer solchen funktion zeige! Zumal die Funktion ja nach y zu integrieren ist, aber ein Integral nach dx bildet.

Kann mir jemand auf die Spur helfen?

07.06.2011, 16:51

Felix

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Was kennst du den für Sätze zum Vertauschen von Grenzwerten ?

07.06.2011, 17:17

alex2007

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na erstmal muss ich das integral doch sicher zerlegen in ein Integral von -unendlich bis 0 und eins von 0 bis unendlich und dann das ganze mittels grenzwert als uneigentliches integral lösen. richtig?

aber wo soll ich da grenzwerte tauschen? verwirrt

07.06.2011, 18:05

cribble

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Worauf er hinaus will ist vermutlich folgendes. Eine bedingung für differenzierbarkeit ist ja das folgender grenzwert exestiert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(y+h)-f(y)}{h} \end{eqnarray*}$

Den $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \end{eqnarray*}$ kann man ja auch zu den termen mit h unter das integral ziehen?! Dafür gabs glaube ich bedigungen die erfüllt werden müssen. Und somit lässt sich wahrscheinlich auch ermitteln ob f(y) differenzierbar ist.

Achja alle angaben sind ohne gewähr smile

08.06.2011, 18:09

alex2007

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Aso ja na klar der Grenzwert muss existieren. Aber kann ich nicht erstmal das Integral lösen und damit f(y) anders schreiben?

Es muss ja heißen:

$\begin{eqnarray*} f(y)=\int_{-\infty }^\infty \! \cos(xy)e^{-x²} \, dx = \lim_{a \to -\infty } \int_a^c \! \cos(xy)e^{-x²} \, dx +\lim_{b \to \infty } \int_c^b \! \cos(xy)e^{-x²} \, dx \end{eqnarray*}$

Und mit dem Grenzwert der für Differenzierbarkeit gelten müsste, würde folgen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \left(\frac { \lim_{a \to -\infty } \int_a^c \! \cos(x(y+h))e^{-x²} \, dx +\lim_{b \to \infty } \int_c^b \! \cos(x(y+h))e^{-x²} \, dx - \lim_{a \to -\infty } \int_a^c \! \cos(xy)e^{-x²} \, dx +\lim_{b \to \infty } \int_c^b \! \cos(xy)e^{-x²} \, dx}{h} \right) \end{eqnarray*}$

So die Frage was man hier nun vereinfachen kann. Bzw obs mehr Sinn macht, f(y) erst zu lösen und wie ich das mache? Partielle Integration?

08.06.2011, 22:55

alex2007

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Hat keiner mehr nen Hinweis? Ich muss die Aufgabe bis morgen lösen. Wäre über Hilfe dankbar.

08.06.2011, 22:59

Leopold

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Ihr habt doch sicher in der Vorlesung Integrale mit Parametern behandelt. Danach darf man unter geeigneten Voraussetzungen unter dem Integralzeichen differenzieren.

08.06.2011, 23:12

alex2007

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Ja stimmt. Heißt also das ich die Grenzwerte unter das Integralzeichen ziehen darf?

Aber ist deine mein Term erstmal soweit richtig?

das problem ist ja aber der limes gegen h. Den kann ich ja nun so nicht einfach unter die Integrale zeihen oder?

Steh bei der Aufgabe rein vom Verständnis her auf dem Schlauch. Wäre es denn prinzipiell möglich die Integrale einfach zu lösen mittels partieller Integration und Grenwertbildung?

Danke für deine Hilfe

08.06.2011, 23:19

Leopold

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Wozu Grenzwerte? Differenziere unterm Integralzeichen:

$\begin{eqnarray*} F(y) = \int_{- \infty}^{\infty} g(x,y)~\dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'(y) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}~\dd x \end{eqnarray*}$

Hinreichend für die Zulässigkeit der Operation ist es, wenn beide Integrale gleichmäßig in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ konvergieren. Für die gleichmäßige Konvergenz hinwieder genügt es, wenn man für beide Integrale eine von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängige Majorante angeben kann. Und die Majoranten sind hier offensichtlich, weil die trigonometrischen Faktoren beschränkt sind.

EDIT

Übrigens kann man, wenn man unter dem Integralzeichen differenziert und das differenzierte Integral partiell integriert, die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{1}{2} y \cdot f(y) \end{eqnarray*}$

herleiten, woraus man wegen $\begin{eqnarray*} f(0) = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ schließlich

$\begin{eqnarray*} f(y) = \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{-x^2} \cos(xy)~\dd x = \sqrt{\pi} \operatorname{e}^{- \frac{1}{4} y^2} \end{eqnarray*}$

erhält.

08.06.2011, 23:33

alex2007

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Edit: Ableitung war falsch. Muss ja nur nach Y abgeleitet werden.

Also folgt:

$\begin{eqnarray*} f'(y)=\int_{-\infty} ^\infty \! -xe^{-x²}sin(xy) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\, f'(0)=0 \end{eqnarray*}$

stimmt das jetzt?

Edit: ich glaube es muss bei dir -1/4y statt -1/2 heißen!

09.06.2011, 03:47

alex2007

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eine wichtige Frage hab ich noch, die ich unbedingt, egal von wem noch schnell beantwortet brauche. Das man die Differentitaion unter dem Integral durchführen darf auf Grund der gleicmäßigen Konvergenz, woher rührt das ganze?

Rührt das aus dem Differentialquotient und der Vertauschbarkeit von Grenzwerten?

Oder woher?

09.06.2011, 08:55

gonnabphd

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Zitat:

Das ist halt ein Satz aus der Analysis. Grob: Wenn du eine Folge von Funktionen hast, deren Ableitungen (lokal) gleichmässig konvergieren, dann ist der Limes der Ableitungen die Ableitung des Limes.

Letzteres begründet sich wohl in dem Fakt, dass für gleichmässig konvergente Funktionenfolgen, welche integrabel sind, auch deren Stammfunktionen gleichmässig konvergieren. Oder anders, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} C(\mathbb R) \to C(\mathbb R), \; f \mapsto F(x) = \int_0^x f(t)\, dt \end{eqnarray*}$

stetig ist bzgl. der sup-Metrik.

Zitat:

Original von Leopold
Übrigens kann man, wenn man unter dem Integralzeichen differenziert und das differenzierte Integral partiell integriert, die Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} f'(y) = - \frac{1}{2} y \cdot f(y) \end{eqnarray*}$

herleiten, woraus man wegen $\begin{eqnarray*} f(0) = \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ schließlich

$\begin{eqnarray*} f(y) = \int_{- \infty}^{\infty} \operatorname{e}^{-x^2} \cos(xy)~\dd x = \sqrt{\pi} \operatorname{e}^{- \frac{1}{4} y^2} \end{eqnarray*}$

erhält.

Interessant! Übrigens erhält man dasselbe Resultat auch funktionentheoretisch: Ersteinmal gilt

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \cos(xy) e^{-x^2} \, dx = \Re \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2 + ixy} \, dx\right)= \Re \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-(x - iy/2)^2} \, dx\right) \cdot e^{-y^2/4} \end{eqnarray*}$

und indem man nun über das Rechteck von -R-iy nach R-iy nach R nach -R nach -R-iy integriert (das Integral ist = 0, da die Funktion ganz ist) und R nach unendlich gehen lässt, sieht man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x - iy/2)^2} \, dx = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx \end{eqnarray*}$

Folglich:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty \cos(xy) e^{-x^2} \, dx = \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx\right) e^{-y^2/4} \end{eqnarray*}$

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