algebraische Zahlen, Nullstellen

07.06.2011, 17:24	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
algebraische Zahlen, Nullstellen Hallo, ich möchte zeigen, dass es stets eine Polynomfunktion endlichen Grades gibt, sodass gewisse Ausdrücke die Nullstellen von dieser Funktion sind, also zum Nachweis, dass diese Ausdrücke algebraisch sind: $\begin{eqnarray} \sqrt a \ \text{,} \ a\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[b] a \ \text{,} \ a\in \mathbb Q \ \text{,} \ b\in \mathbb N_+ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt a+\sqrt b \ \text{,} \ a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ Dazu habe ich folgende Ideen: Sei $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt a \end{eqnarray}$ die Nullstelle eines Polynoms: $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^2 = a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^2 -a= 0 \end{eqnarray}$ , daher ist $\begin{eqnarray} \sqrt a \end{eqnarray}$ Nullstelle von der Funktion $\begin{eqnarray} f_1(x)=x^2-a \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt[b] a \end{eqnarray}$ die Nullstelle eines Polynoms: ( $\begin{eqnarray} b\in \mathbb N_+ \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt[b] a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^b = a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^b -a= 0 \end{eqnarray}$ , daher ist $\begin{eqnarray} \sqrt a \end{eqnarray}$ Nullstelle von der Funktion $\begin{eqnarray} f_2(x)=x^b-a \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt[b] a \end{eqnarray}$ die Nullstelle eines Polynoms: ( $\begin{eqnarray} b\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt[b] a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^b = a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^b -a= 0 \end{eqnarray}$ , daher ist $\begin{eqnarray} \sqrt a \end{eqnarray}$ Nullstelle von der Funktion $\begin{eqnarray} f_3(x)=x^b-a \end{eqnarray}$ . Und es ist $\begin{eqnarray} b\in \mathbb Q \ \Rightarrow \ \exists p,q\in \mathbb Z: p/q=b \end{eqnarray}$ . Daher $\begin{eqnarray} f_3(x)=x^{p/q}-a \end{eqnarray}$ Oder besser so? $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt[p/q] a \ \ \Rightarrow \ \ x_N ^{p/q}=\sqrt[q]{x_N ^p} = a \ \ \Rightarrow \ \ x_N^p=a^q \ \ \Rightarrow \ \ x_N^p-a^q=0 \end{eqnarray}$ , daher ist $\begin{eqnarray} \sqrt[b] a=\sqrt[p/q] a \end{eqnarray}$ Nullstelle von der Funktion $\begin{eqnarray} f_{3}(x)=x^p-a^q \end{eqnarray}$ . Und dann: Sei $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt a + \sqrt b \end{eqnarray}$ die Nullstelle eines Polynoms: ( $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} x_N = \sqrt a + \sqrt b \ \Rightarrow \ x_N^2 = \left( \sqrt a + \sqrt b \right) ^2 = a+ 2\cdot \sqrt a\cdot \sqrt b +b = a+b+ 2\cdot \sqrt {a\cdot b} \ \Rightarrow \ x_N^2-(a+b)=2\cdot \sqrt {a\cdot b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ \Rightarrow \ \left( x_N^2-(a+b)\right)^2=4ab\ \Rightarrow \ \left( x_N^2-(a+b)\right)^2-4ab=0 \end{eqnarray}$ , daher ist $\begin{eqnarray} \sqrt a + \sqrt b \end{eqnarray}$ Nullstelle der Funktion $\begin{eqnarray} f_4(x)=\left( x^2-(a+b)\right)^2-4ab \end{eqnarray*}$ . Ist das soweit richtig? Vielen Dank
07.06.2011, 21:19	karlmat	Auf diesen Beitrag antworten »
sieht gut aus aber ziemlich unübersichlich. das letzte ist kein polynom f_4
07.06.2011, 22:58	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das denn ? Und warum meinst du, dass mein $\begin{eqnarray} f_4(x)=\left( x^2-(a+b)\right)^2-4ab \end{eqnarray}$ keine Polynomfunktion sei?
07.06.2011, 23:37	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mir wirklich helfen möchtest, kannst du das gerne tun. Vielleicht erläuterst du, wieso das denn keine Polynomfunktion sein sollte...
07.06.2011, 23:40	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Um Missverständnisse auszuräumen: Das ist alles richtig so. Auch $\begin{eqnarray} f_4 \end{eqnarray}$ . Ich frage mich nur warum du bei $\begin{eqnarray} \sqrt[b]{a} \end{eqnarray}$ noch den Fall $\begin{eqnarray} b \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ betrachtet hast, b war doch ausschließlich als natürlich vorrausgesetzt.
07.06.2011, 23:41	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
@Pascal: Nicht irritieren lassen, alles gut. Die Frage ist, warum du das zeigen möchtest, in der Algebra ist es üblich, die n-te Wurzel als Nullstelle eines Polynoms der Form x^n-a zu definieren.
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07.06.2011, 23:47	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, die Aufgaben stammen sowieso nicht von der Uni oder so, haha Die hab ich mir selber ausgedacht... Und dann habe ich das auch nochmal für $\begin{eqnarray} b \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ gemacht. Aber danke, dass ich mir jetzt sicher sein kann @lgrizu: Ich wollte ja gerade zeigen, dass die n-te Wurzel von a eine Nullstelle von einem Polynom endlichen Grades und rationalen Koeffizienten ist, um so zu zeigen, dass die Zahl algebraisch ist. Nun würde es mich aber interessieren, wie man zeigt, dass auch $\begin{eqnarray} \sqrt[m] a+\sqrt[n] b \ \text{,} \ a,b,m,n\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ algebraisch ist. Da würde ich wieder anfangen, dass $\begin{eqnarray} x_N=\sqrt[m] a+\sqrt[n] b \end{eqnarray}$ die Nullstelle eines Polynoms endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten ist. Nur wie könnte man hier fortfahren? Stimmt die Annahme überhaupt?
08.06.2011, 00:40	Pascal95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde nun schlafen gehen. Wenn jemand eine Idee hat, wie man eine Polynomfunktion findet, die $\begin{eqnarray} \sqrt[m] a+\sqrt[n] b \ \text{,} \ a,b,m,n\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ als Nullstelle hat, würde es mich freuen.

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