Grenzwert einer Folge

12.12.2006, 22:46

Musti

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Grenzwert einer Folge

Beim Grenzwert einer folge herrscht folgende Bedingung.

$\begin{eqnarray*} |a_n-g|>\epsilon \end{eqnarray*}$

Kann mir jmd. erklären was das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zu bedeuten hat und wofür das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ steht?

Oder kennt jemand ne Seite wo das umfassend und praktisch erklärt wird?

Danke

12.12.2006, 22:52

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Hi!

Irgendwie hast du was verdreht. Das soll bestimmt die Definition von Grenzwert sein. Die heißt richtig formuliert:

$\begin{eqnarray*} \forall~\varepsilon > 0 \exists~n_0\in \mathbb N~\forall~n \geq n_0:|a_n-g|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Was eine Folge ist weißt du??? $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezeichnet den Grenzwert der Folge und ist definiert als

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_n =:g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sei dabei eine beliebige Zahl größer Null!!! Es geht hier einfach darum, dass ab einem bestimmten Wert alle Folgeglieder in dem sogenannten Epsilon-Schlauch liegen, bzw. allgemein in der Epsilon-Umgebung!

12.12.2006, 22:55

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
[quote]Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_n =:g \end{eqnarray*}$

[quote]

was bedeutet das :?

Du sagst g bezeichnet den grenzwert der Folge aber müssen wir nicht diesen grenzwert erst herausbekommen?

Edit: Könntest du ne leiche Beispielaufgabe nehmen mit bzgl. Lösung damit ich mich besser hineinversetzen kann?

Wäre Nett.

12.12.2006, 23:01

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Die beiden Aussagen oben sind äquivalent. Im allgemeinen wird man den Grenzwert über die "Limesdefinition" berechnen wollen. Bei Beweisen ist aber die Definition über die Epsilon-Umgebung gefragt.

Sehr einfaches Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}~\cfrac{1}{n}=??? \end{eqnarray*}$

Was passiert mit der Folge, wenn das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer größer wird. Die Folge wird gegen Null konvergieren, obwohl $\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$ für 0 gar nicht definiert ist. Dass heißt ab einem bestimmten Wert $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ liegen fast alle Folgeglieder in einer Umgebung von Null.

Edit: Rechtschreibung

12.12.2006, 23:02

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Das ist ja genauso bei Funktionen oder?

12.12.2006, 23:04

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Da kann man den Grenzwert auch betrachten... Er gibt nämlich dann einfach die waagerechten Asymptoten an.
Beispiel vielleicht gewünscht?

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12.12.2006, 23:05

Mathespezialschüler

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Siehe hier.

Gruß MSS

12.12.2006, 23:06

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Ich versuchs mal mit einem Beispiel.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to\infty } \frac{1}{x}-1=-1 \end{eqnarray*}$

waagerechte Asymptote bei $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$

Richtig so?

12.12.2006, 23:07

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Danke Mathespezialschüler ich werds mir angucken! Freude

Freude

12.12.2006, 23:09

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
@Musti: Ist richtig!

12.12.2006, 23:10

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Danke Vektorraum ich komme dem Thema immer näher und verstehe auch immer besser!

Wink

Wink

12.12.2006, 23:11

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Also das mit dem epsilon brauche ich nur beim beweisen von Grenzwerten bei folgen?

12.12.2006, 23:16

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Na ja, wenn du dich später mit Cauchy-Folgen beschäftigst, dann wird es i.A. wichtiger sein, mit der Definition zu arbeiten, weil man dann den Grenzwert meist nicht kennen wird.
Du wirst auch mit der Limesvariante nicht immer einen Grenzwert bestimmen können, so dass du auf die Definition zurückgreifen musst!
Aber es gibt auch andere nützliche Verfahren wie z.B. die Regel von L'Hospital.
Versuch dich doch einfach mal an einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Beweis. Nehme z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Ist zwar ziemlich hart, aber ich glaube die Lösung schwirrt schon irgendwo im Board rum. Oder nimm zum einstieg mein Beispiel von oben udn versuche auch auf den Grenzwert zu kommen. Du musst beim anwenden der Epsilon-Definition dann aber auch schon meist den Grenzwert kennen, bzw. eine Vermutung haben!

12.12.2006, 23:19

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Ok ich werds versuchen.

Wenn ich fertig bin kann ich dir dann eine private Nachricht schreiben so dass du dir das mal angucken kannst?

Ich mach mich dann lieber erst morgen an die Aufgabe ran.

Danke Wink

Wink

12.12.2006, 23:25

Mathespezialschüler

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Schreib es doch einfach hier ins Board, dann sieht es jeder und die Chance auf Hilfe ist größer.
Wichtig beim Bestimmen von Grenzwerten von Folgen sind im Übrigen auch noch die Grenzwertsätze.
Wenn man es genau nimmt, sind die Grenzwerte von Funktionen ebenfalls über ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kriterium definiert. Das wird nur so meistens nicht gelehrt.

Gruß MSS

12.12.2006, 23:30

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
MSS hat Recht, schreib es ins Board, weil in privaten Messages kannst du erstens kein Latex verwenden (glaube ich???) und ich bin ja auch nicht immer da Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht noch kurz als Ergänzung:

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=b \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\pm b_n)=a \pm b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(\lambda\cdot a_n)=\lambda\cdot a,~\forall~\lambda\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(a_n\cdot b_n)=a\cdot b \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} b_n \neq 0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\cfrac{a_n}{b_n}\right)=\cfrac{a}{b} \end{eqnarray*}$

12.12.2006, 23:32

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von vektorraum
und für $\begin{eqnarray*} b_n \neq 0: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ sollte man auch noch fordern!
Das sind übrigens die sogenannten Grenzwertsätze.

Gruß MSS

12.12.2006, 23:35

vektorraum

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@MSS: Upps, hab ich übersehen. Ja, ich weiß. Aber weil du es vorn erwähnt hast, hab ich es der Vollständigkeit halber nochmal schnell rüberkopiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.12.2006, 13:40

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(\lambda\cdot a_n)=\lambda\cdot a,~\forall~\lambda\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Der Verständnis halber würde ich gerne wissen, was das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und das umgekehrte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu bedeuten hat?

13.12.2006, 14:18

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
$\begin{eqnarray*} a_n=\sqrt[n]{n} =n^{\frac{1}{n}} =e^{ln(n)^\frac{1}{n}}=e^{ \frac{ln(n)}{n}} \end{eqnarray*}$

Grenzwertverhalten des Exponenten.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{ln(n)}{n}= \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$

Anwendung l'hopital.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{d}{dn} ln(n)}{\frac{d}{dn} n}= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} }{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^0=1 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } =\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

Habe ich das Grenzverhalten richtig bestimmt?

Das Problem ist wenn es richtig ist, dass ich das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ mit einbezogen habe.

13.12.2006, 20:57

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Musti

Zitat:

Original von vektorraum

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}(\lambda\cdot a_n)=\lambda\cdot a,~\forall~\lambda\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Der Verständnis halber würde ich gerne wissen, was das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und das umgekehrte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu bedeuten hat?

Hi Musti!

Oh, sorry. Wusste nicht, das du das nicht kennst. Das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ soll einfach irgendeine Zahl sein, die in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ihren Definitionsbereich hat... Dass heißt, du kannst beliebige reelle (komplexe) Zahlen aus deiner Zahlenfolge rausziehen, und der Grenzwert bleibt der gleiche, wenn du den konstanten Faktor mit rausziehst, z.B.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}3\cdot \cfrac{1}{n}=3\cdot \lim_{n\rightarrow \infty}\cfrac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Blödes Beispiel, weil der Grenzwert eh 0 ist, aber egal...

Das umgedrehte A ist einer der Quantoren. Mathematische Texte oder Formeln sind voller dieser Symbole. Es verkürzt einfach die Aussage: für alle. Mal ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \forall~x\in \mathbb R:f(x)>0 \end{eqnarray*}$

Soll "übersetzt" heißen: für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, dass f(x)>0.
Auf schlau heißt das Ding Allquantor.
Es gibt auch noch $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ . Das heißt, es existiert (mindestens) irgendwas mit einer bestimmen Eigenschaft. z.B.

$\begin{eqnarray*} \exists~x \in \mathbb R:x>2 \end{eqnarray*}$

Die Aussage übersetzt: es gibt Elemente $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so dass dies größer als 2 ist. Offensichtlich gilt es ja nicht für alle! Also vorsichtig. Wenn dasteht $\begin{eqnarray*} \exists! \end{eqnarray*}$ , heißt das, es existiert genau ein und nur ein Element mit der Eigenschaft!
Das Ding heißt übrigens "Existenzquantor".

Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen...

13.12.2006, 21:06

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } =\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

Habe ich das Grenzverhalten richtig bestimmt?

Das Problem ist wenn es richtig ist, dass ich das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ mit einbezogen habe.

Ja, es stimmt, dass der Grenzwert 1 ist. Aber damit hast du nur die Limes-Version angewendet und nicht die Epsilon-Version.
Du hast es vollkommen richtig gemacht - du musst ja den Grenzwert kennen, um diesen in deinen Beweis einzubauen. Also stelle dazu eine Vermutung auf. Angenommen der Grenzwert ist 1.

Dann willst du zeigen:

$\begin{eqnarray*} \forall~\varepsilon>0~\exists~n_0\in \mathbb N~\forall~n\geq n_0:|\sqrt[n]{n}-1|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Das ist zu zeigen. Das heißt, dass bei dieser Folge ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ alle Folgeglieder in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ liegen...
Dazu wählt man sich vor Beweisbeginn ein geeignetes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . (Natürlich hat man den Beweis vorher schon mal probiert und ist dann auf dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gekiommen - es fällt ja nicht einfach so vom Himmel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mal ne Frage: Gehst du noch zur Schule und interessiert dich das?

13.12.2006, 22:26

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Ja ich gehe in die 12 Klasse einer Oberstufe.

Dieses Thema behandle ich sozusagen freiwillig.

Ich weiß jetzt nicht wie ich $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ wählen soll.

Es soll geeignet sein?

Ich frag mich was am geeignetsten wäre für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ?

Ja deine Antworten zu den "Hyroglyphen" waren sehr hilfreich!

Ich danke dir dass du mir bei meiner Aufgabe hilfst Freude

Freude

14.12.2006, 18:09

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
So ich versuchs mal, aber das ist aufjedenfall falsch!

Es gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n-g|>\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sqrt[n]{n}-1|>\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sqrt[n]{n}|>\epsilon+1 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter fortfahren muss, wobei ich mir sicher bin, dass ich bis hierhin schon Fehler habe.

14.12.2006, 18:21

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Nicht gleich so pessimistisch - "aber das ist aufjeden Fall falsch"... Jeder fängt mal klein an.

Mein Tipp zum $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ :

Dieses $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon)\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ hängt, wie ich oben wahrscheinlich nicht so richtig erwähnt habe, von deinem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab. Auf diesen Wert kommt man aber eigentlich erst durch geschicktes rumprobieren.
Wähle dein $\begin{eqnarray*} n_0>1+\cfrac{2}{e^2} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0\leq \sqrt[n]{n}-1\leq \sqrt{\cfrac{2}{n-1}}<\sqrt{\cfrac{2}{n_0-1}}\leq... \end{eqnarray*}$

So, schau dir das wirklich mal in aller Ruhe an und überlege dir bei jeder dieser Abschätzungen, was diesen Schritt rechtfertigt.
Wie man auf diesen Wert kommt, usw. überlegt man sich in einer Nebenrechnung...

14.12.2006, 18:40

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
Ich muss dich leider enttäuschen.

Das wird immer komplizierter.

Ich kann mir schwer vorstellen wie du auf solche Werte kommst.

Das regt mich so auf.

Warum komm ich bloß nicht darauf.

14.12.2006, 18:58

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Kein Problem... Ich muss zugeben, dass ich nicht gerade ein einfaches Beispiel gewählt habe, um dir das ganze deutlich zu machen...
Aber leider setzt das Thema bereits viel Grundwissen der höheren Mathematik vorraus. Ich hätte noch ein einfacheres Beispiel, da brauchst du aber z.B. die so genannte Dreiecksungleichung. Kennst du die schon???
Und sei nicht demotiviert. Da Thema ist am anfang erstmal nicht so leicht zu verdauuen...

14.12.2006, 19:03

Musti

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RE: Grenzwert einer Folge
@Vektorraum

Ich danke dir das du mir bei meinen Problemen hilfst.

Ich werde mir selbst ein paar Aufgaben aussuchen die hoffentlich nicht ganz so schwer sind!

Noch eine Beispielaufgabe deinerseits ist nicht nötig, du hilfst mir schon so genug und außerdem sagt mir die Dreiecksungleichung relativ wenig bis garnichts.

Es wäre lediglich sehr nett wenn du dir nachher angucken könntest, ob ich meine Aufgaben richtig gemacht habe.

Danke

14.12.2006, 19:05

vektorraum

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RE: Grenzwert einer Folge
Kein Problem Wink

Wink

Vielleicht probierst du dich einfach mal selbst daran aus. Schaden kann es auch nicht, wenn du ein paar unterschiedliche Aufgaben zur Berechnung des Grenzwertes über die Limesdefinition übst. Das ist ja oben schon gut gelaufen.

Klar, immer her mit den Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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