körpererweiterung grad m, irred. polynom grad n, ggt(m,n)=1... beweis

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
körpererweiterung grad m, irred. polynom grad n, ggt(m,n)=1... beweis
hi
mir ist leider kein besserer titel eingefallen, also hier mal die aufgabe:

endliche Körpererweiterung vom grad und ein irred. polynom vom grad . Zeigen Sie, dass auch in irred. ist, falls gilt.

Joa, bräuchte paar Ansätze. Danke schonmal

LG
Hamsterchen
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen, das Polynom f würde in L[X] einen Faktor g von einem Grad abspalten. Wende den Gradsatz auf den Körper an, der über L durch Adjunktion einer Nullstelle von g entsteht.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

woher weiß ich denn, dass g eine nullstelle hat?

Meinst du, dass ich dann das hier machen soll: ? Also wenn l_0 diese Nullstelle von g ist.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
woher weiß ich denn, dass g eine nullstelle hat?

Ist dir nicht bekannt, dass man zu einem Polynom mit Koeffizienten in einem Körper immer einen Erweiterungskörper finden kann, in dem das Polynom eine Nullstelle hat?

Zitat:
Meinst du, dass ich dann das hier machen soll: ? Also wenn l_0 diese Nullstelle von g ist.

Ja.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ah doch, kommt mir irgendwie bekannt vor ^^ ich hatte gerade nur daran gedacht, dass man ja nicht weiß, ob die nullstelle in L liegt.

was ist denn ? und wie kann man aus dem ganzen hier einen widerspruch bekommen???
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hamsterchen
was ist denn ?

Das solltest du anhand der Definition von l_0 beantworten können, es liegt ja eine einfache Körpererweiterung vor.
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

leider weiß ich es nicht. wir hatten auch net viel mit dem grad in der vorlesung. außerdem irritiert mich der wiki eintrag. da steht, dass [C:R]=2 ist, weil {1,i} eine R-Basis von C ist. Aber i liegt doch gar nicht in R. Also wie genau ist das denn zu verstehen??
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Eine einfache algebraische Erweiterung K(a)/K hat als Grad den Grad n des Minimalpolynoms f von a. Eine Basis des K-Vektorraumes K(a) ist
Das kann man mittels der Isomorphie sehen.

Eine R-Basis von C ist eine Basis von C als Vektorraum über R.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hi, danke für deine antwort.

also wenn g in L keine Nullstelle hat, dann nehmen wir uns eine und erweitern L damit. Dann ist = dem Grad des minimalpolynoms von l_0.

Kann man den irgendwie berechnen? Also man kennt L ja nicht. Und ich weiß immer noch nicht genau, was da am Ende rauskommen soll ^^

LG
Hamsterchen
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HamsterchenKann man den irgendwie berechnen? Also man kennt L ja nicht.

g kann doch oBdA als irreduzibel angenommen werden.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

sry weiß net, worauf du hinaus willst. wir wollen doch ne nullstelle von g ham, wieso sollten wir dann sagen, dass g irred. ist???
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen ja den Grad des Minimalpolynoms von
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, schon, aber wie? ^^
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn "Minimalpolynom" definiert?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also das minimalpolynom ist das polynom kleinsten grades (normiert und irred.) mit f(l_0)=0. die koeffizienten müssten doch dann eig aus L(l_0) sein, oder?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann nur das Minimalpolynom von einem Element aus einem Erweiterungskörper über einem Grundkörper bilden. Die Koeffizienten sind im Grundkörper.
Es kommt entscheidend auf den Grundkörper an. Zum Beispiel hat über das Minimalpolynom über das M.P. und über einfach

Nun interessiert uns für die Aufgabe das Minimalpolynom von über L, und dann auch noch über K, letzteres dann für die linke Seite von
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok, stimmt. konkret zu berechnen ist auch etwas einfacher. ich hab leider keine ahnung, wie man so allgemein den grad bestimmen kann.

und ich weiß immer noch nicht, wofür wir das machen. könntest du kurz sagen, auf was das ganze hinaus läuft?

lg
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der linken Seite der zitierten Gleichung wird ein Vielfaches von n stehen und rechts ein Produkt, das n nicht als Teiler haben kann.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, naja also zum minimalpolynom fällt mir leider nix ein, nur dass wenn g ne nullstelle in L hat, dass das minimalpolynom dann grad 1 hat. also muss es nen höheren grad haben, wenn wir annehmen, dass es irreduzibel ist.

kannst du mir bitte einen ansatz geben?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Du scheinst die Begriffe noch kaum zu kennen. Polynome vom Grad 1 über einem Körper sind immer irreduzibel, Minimalpolynome sind nach Definition irreduzibel.

Man muss für die Aufgabe wirklich nur in die Gleichung einsetzen und feststellen, dass ein Widerspruch entsteht.

Mir fällt nichts ein was man sonst noch als Tipp geben könnte, ohne die Aufgabe schon zu lösen, sorry.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

du könntest mir vielleicht erklären, wie man den grad berechnet wo l_0 drin vorkommt. ich meine, ich weiß ja gar net, wo l_0 drin liegt. es könnte ja überall drin sein.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht nötig irgendeinen Grad konkret zu berechnen. Das wäre ja wegen der Allgemeinheit der zu zeigenden Aussage auch seltsam. Es reicht die Darstellung "Grad der einfachen Körpererweiterung = Grad des Minimalpolynoms des erzeugenden Elementes" zu verwenden.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ich dachte die ganze zeit ich soll den grad irgendwie berechnen, aber der kann doch theoretisch alles mögliche sein, oder?

hmm, gut, bringt mich jetzt aber auch nicht großartig weiter.
also du hast gesagt, dass = Grad vom Minimalpolynom von über ist. Ist dann Grad vom Minimalpolynom von über .
Man muss ja dann eine Aussage treffen können über die verschiedenen Grade nehme ich mal an.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft es dir, das Thema zu einem spätereren Zeitpunkt nochmal in Ruhe anzusehen. Es ist wirklich nicht schwer. Du brauchst auch keine weiteren Ansätze oder Berechnungen, die nichts mit der Aufgabe zu tun haben. Alle Informationen sind schon hier, teilweise mehrfach genannt.

Mehr kann ich zu dem Thema nicht sagen.
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich komm einfach nicht drauf, kann im internet nix finden...

kannst du es mir nicht einfach sagen???
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