standardisierte Normalverteilung U aus X, geg. sind E(X) + V(X)

07.06.2011, 19:43

Eye12524

standardisierte Normalverteilung U aus X, geg. sind E(X) + V(X)

Meine Frage:
Hi;

Eine Zufallsgröße X ist normalverteilt mit
Erwartungswert -2 und
Varianz 0.64.

Wie kann man die standardisierte Normalverteilung U aus X berechnen?

Meine Ideen:
E(X) = mü
Var(X) = sigma^2

N (0, 1).
$\begin{eqnarray*} U=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } * e^\frac{-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

und ab hier hab ich Probleme da eine Stand. Norm.-vert. ja immer vorraussetzt das mü= 0 un sigma= 1 ist
O__oa wenn ich jetzt aber so wie hier E(X) = -2 und Var(X)= 0,64 gegeben habe muss ich dann auf eine andere Formel zurückgreifen?

Grüße Eye

07.06.2011, 21:44

Black

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Ihr habt in der Vorlesung doch sicher mal die Standardisierung behandelt?

Wenn nicht solltest du dir mal das anschauen.

07.06.2011, 22:58

Eye12524

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j a hatten wir aber das recht flüchtig

thx für den Link

z=(X-mü) / sigma

E(Z) = 1/ Sigma (E(X) -mü)= 1/0,08 x 0= 0
V(X)= 1/ Sigma^2 * V(X) =0,64/0,64= 1

konnte ich gut nach vollziehen

aber wie berechne ich eine verteilung ohne das ein Intervall geg. ist?

07.06.2011, 23:45

dinzeoo

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RE: standardisierte Normalverteilung U aus X, geg. sind E(X) + V(X)

Zitat:

Original von Eye12524
$\begin{eqnarray*} U=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } * e^\frac{-x^2}{2} \end{eqnarray*}$

ich weiss zwar was du damit meinst, aber so kann man das nicht schreiben, nur so am rande...
richtig ist:

$\begin{eqnarray*} U\sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Eye12524
z=(X-mü) / sigma

nimm mal z=U, dann hast die aufgabe gelöst, allerdings solltest du versuchen zu verstehen wieso das dann so gilt.

Zitat:

E(Z) = 1/ Sigma (E(X) -mü)= 1/0,08 x 0= 0
V(X)= 1/ Sigma^2 * V(X) =0,64/0,64= 1

hättest vll mal einen schritt mehr posten können, dann hätte ich zumindestens schneller gesehen das es richtig ist Augenzwinkern

mit dem ersten X aus zeile 2 meinst wohl ein Z aber da hast dich wohl nur vertippt....

Zitat:

aber wie berechne ich eine verteilung ohne das ein Intervall geg. ist?

versteh ich nicht so ganz. die normalverteilung hängt doch nur von den parametern mü und sigma ab, oder worauf willst du genau?

10.06.2011, 02:09

Eye12524

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Hm OK,
ich versuch mich mal weiter:

Wenn ich eine Fkt mit beliebigem mü und sigma geg. habe dann kann ich diese auf eine N(0,1) zurückführen indem ich die Verteilungsfunktion F(x) der allgemeinen Normalverteilung
mit u substituiere

$\begin{eqnarray*} F(X)= \frac{1}{sigma* \sqrt{2\pi } } * \int_{-\infty }^x \! e^{-0,5*(\frac{t-mue}{sigma} )^2} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)= \frac{1}{sigma* \sqrt{2\pi } } * \int_{\frac{-\infty -mue}{sigma} }^{\frac{x-mue}{sigma} } \! e^{-0,5*(u)^2} \, du * sigma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)= \frac{1}{\sqrt{2\pi } } * \int_{-\infty }^{\frac{x-mue}{sigma} } \! e^{-0,5*(u)^2} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(X)= phi(\frac{x-mue}{sigma} ) \end{eqnarray*}$

Nebenrechnung:
$\begin{eqnarray*} u=\frac{t-mue}{sigma} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} =\frac{d}{dt} *\frac{t-mue}{sigma} = \frac{1}{sigma} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow dt= du * sigma \end{eqnarray*}$

als nächstes dev. ich z
$\begin{eqnarray*} z:=\frac{x-mue}{sigma} \end{eqnarray*}$
dann ersetze ich u durch t und erhalte die Standadnormalverteilung meiner Verteilungsfkt:

$\begin{eqnarray*} phi(Z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } * \int_{-\infty }^z \! e^{-0,5*t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

O___öa
Das Ergebniss dieser Transformation verwende ich um die Grenzen von z.B. x1 , x2 und die Zufallsvariable X auf die Grenzen z1 , z2 und die Zufallsvariable Z anzugleichen.

N(mue, sigma^2) ~transformiert ~ N(0,1)

$\begin{eqnarray*} P(x1\leq X\leq x2)=P(\frac{x1-mue}{sigma} \leq Z= \frac{X-mue}{sigma}\leq \frac{x2-mue}{sigma} ) = P(z1\leq Z\leq z2) \end{eqnarray*}$

Ist das damit gemeint das ich meine Grenzen beliebig verschieben kann und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis mit X = die Wahrscheinlichkeit für die Standardnormalverteilung mit den neuen Grenzen ist?

Das was ich mit Intervall gemeint hatte ist, dass man doch zur Berechnung immer ein Intervall mit diesen Grenzen benötigt?

10.06.2011, 02:18

Eye12524

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*Hust* und da es sich bei der Stand.-norm.-vert. um eine Glockenkurve handelt und ich mue habe, habe ich auch autom. die Grenzen...

10.06.2011, 10:23

dinzeoo

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hab jetzt nix genau nachgerechnet bei deinen umformungen aber sieht soweit ganz gut aus.

du schreibst übrigens F(X) und phi(Z). es gehören da aber keine zuvallsvariablen rein, sondern deren realisationen, also F(x) und Phi(z) ist richtig.

Zitat:

Ist das damit gemeint das ich meine Grenzen beliebig verschieben kann und die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis mit X = die Wahrscheinlichkeit für die Standardnormalverteilung mit den neuen Grenzen ist?

Das was ich mit Intervall gemeint hatte ist, dass man doch zur Berechnung immer ein Intervall mit diesen Grenzen benötigt?

jetzt weiss ich was du mit intervall meintest. besser wäre vll der ausdruck ereigniss. sobald du eine wahrscheinlichkeit konkret ausrechnen möchtest, muss natürlich irgend ein ereigniss gegeben sein. ich hatte letztens was über die normalverteilung geschrieben, lies dir das mal durch:

das $\begin{eqnarray*} X^* \end{eqnarray*}$ , welches ich dort verwende entspricht deinem Z.

matheboard.de/search.php?searchid=1205489&page=6

danach kannst ja nochmal fragen was du nicht verstanden hast..

12.06.2011, 14:30

Eye12524

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danke für den Link
aber auf den kann ich leider nicht zugreifen. Ich bekomme dort eine Fehlermeldung, muss ich mich dafür irgendwie freischalten lassen?!

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