Goniometrische Gleichung

12.12.2006, 23:19

oerny

Goniometrische Gleichung

Hi, ich habe folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 2*cos(\alpha_1) *sin(\alpha_1) = \frac{\pi \alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2*\alpha_1 = \alpha \end{eqnarray*}$
habe diese jetzt soweit ich konnte umgestellt und vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} sin(\alpha)=\frac{\alpha \pi}{360°} \end{eqnarray*}$

wie berechne ich diese Gleichung nun? ich weis das für alfa ca 108° rauskommt.
Danke für die Hilfe

edit falsche winkel in der cosinus und sinus funktion aus $\begin{eqnarray*} 2*cos(\frac{\alpha_1}{2}) *sin(\frac{\alpha_1}{2}) = \frac{\pi \alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ wurde $\begin{eqnarray*} 2*cos(\alpha_1) *sin(\alpha_1) = \frac{\pi \alpha}{360°} \end{eqnarray*}$ (siehe auch unten)

13.12.2006, 08:59

klarsoweit

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RE: Gleichung lösen
Zunächst mal ist
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\frac{\alpha_1}{2}) \cdot sin(\frac{\alpha_1}{2}) = sin(\alpha_1) \end{eqnarray*}$

Und eine Gleichung wie beispielsweise $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac x 2 \end{eqnarray*}$ läßt sich abgesehen von der trivialen Lösung nicht geschlossen lösen.

13.12.2006, 16:49

oerny

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hossa erstmal mein fehler:

es muss nicht heisen $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_{1}}{2} \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} \alpha1 \end{eqnarray*}$ aslo ist die umformung doch richtig.

naja gut aber wie kann dann der taschenrechner 108° rausbringen, was auch bei einer probe der ganzen aufgabe stimmt.

(wens interessiert hier die aufgabe: bei welchem winkel wird die fläche eines kreisabschnittes durch die sehne halbiert siehe skizze für den ansatz)

14.12.2006, 08:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von oerny
hossa erstmal mein fehler:

es muss nicht heisen $\begin{eqnarray*} \frac{\alpha_{1}}{2} \end{eqnarray*}$ sondern nur $\begin{eqnarray*} \alpha1 \end{eqnarray*}$ aslo ist die umformung doch richtig.

Toll. Ich habe eine Weile gebraucht, bis ich gemerkt habe, daß du deine ursprüngliche Gleichung verändert hast. Beim Editieren wäre es besser, du schreibst die Änderung unten drunter.

Zitat:

Original von oerny
naja gut aber wie kann dann der taschenrechner 108° rausbringen, was auch bei einer probe der ganzen aufgabe stimmt.

Da kommt es drauf an, was du in den Taschenrechner eintippst. (Wenn ich da 3*36 eingebe, kommt auch 108 raus. Augenzwinkern

) Und 108° ist nur eine angenäherte Lösung.

14.12.2006, 11:10

oerny

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klasse, nur war diese aufgabe genau so in einer klausur, und da müsst die (da kein tr erlaubt war) doch lösbar sein? stimmt mein ansatz, also ich habe schon mind 10mal überlegt und es auch anders versucht, komm aber immer auf die gleiche gleichung

14.12.2006, 11:17

klarsoweit

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Ob der Ansatz stimmt, kann ich nicht sagen. Ich kann leider auch nicht den Text in der Skizze entziffern.

14.12.2006, 13:49

oerny

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seltsam auch nicth wenn du nahc dem öffnen der skizze nochmal draufklicksts,
naja egal
hier nochmal der ansatz:
Wenn die sehne die Fläche des kreisabschnitts halbiert, muss die fläche des gesamten abschnits doppelt so groß sein wie die des dreiecks.
also $\begin{eqnarray*} A_{Abschnitt} = 2 A_{Dreieck} \end{eqnarray*}$ dann berechne ich das dreieck mit hilfe des winkels udn komme dann auf $\begin{eqnarray*} A_{Dreieck} = sin(\alpha_1)*r*cos(\alpha_1)*r \end{eqnarray*}$
dann setze ich oben ein:
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha \pi}{360°} r^2 = 2*sin(\alpha_1) cos(\alpha_1) r^2 \end{eqnarray*}$ und habe damit meine gleichung die ich nicht lösen kann.

14.12.2006, 14:22

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Soweit waren wir doch oben schon mal, nur das klarsoweit gleich die Winkel im Bogenmaß betrachtet hat, ist hier auch viel naheliegender und vernünftiger:

Zitat:

Original von klarsoweit
Zunächst mal ist
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\frac{\alpha_1}{2}) \cdot sin(\frac{\alpha_1}{2}) = sin(\alpha_1) \end{eqnarray*}$

Und eine Gleichung wie beispielsweise $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac x 2 \end{eqnarray*}$ läßt sich abgesehen von der trivialen Lösung nicht geschlossen lösen.

Vollkommen richtig. Die zugehörige Approximationslösung ist

$\begin{eqnarray*} x \approx 1.89549 \approx 108.604^{\circ} \end{eqnarray*}$

14.12.2006, 15:46

oerny

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naja soweit so gut, ob bogenmaß hin oder her, die aufgabe war in einer klausur ohne tr und der winkel sollte ausgerechent werden, wie mache ich sowas?

14.12.2006, 18:20

klarsoweit

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Keine Ahnung. Frage mal die, die die Klausur geschrieben haben oder den Lehrer. Ansonsten würde ich mir bei dieser Aufgabe keinen großen Kopp machen und die Zeit für was anderes nutzen.

14.12.2006, 18:31

oerny

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naja der kerl is ja krank......
aber hat mich mal interessiert, weil nach meinem wissen geht des auch nur mit hilfe einer näherung, wollte des nur nochmal bestätigt haben!
danke!
ja die zeit nutz ich für die "blöd" algebra uafgabe die ich net rausbekomm....

23.02.2007, 03:34

oerny

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Naja irgendwie lässt mir das ganze keine ruhe...

kann man eine Approximation mit der Hand durchführen wenn ja wie, könnte mir da mal jemand einen Ansatzpunkt geben?

danke für die Hilfe

23.02.2007, 14:14

mYthos

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Was verstehts du unter "mit der Hand"? In jedem Fall wirst du einen TR dazu brauchen, um mit den Iterationswerten weiterrechnen zu können.

mY+

23.02.2007, 16:18

oerny

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ok war vielleicht blöde formuliert, dachte daran obs für solche aufgaben eine näherungsverfahren gibt wie zb. die taylorreihe oder sowas, oder wäre das hier unsinnvoll?
und welches verfahren man wäre dann zu wählen, dazu hätte ich von irgendjemand gern einen anhaltspunkt.

25.02.2007, 19:07

Raumpfleger

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Natürlich gibt es da numerische Verfahren. Du kannst mal nachlesen, wie z.B. die hier nicht so sehr beliebten CAS (computer algebra systems) dieses Problem lösen (* in Mathematica ist es FindRoot[] *), oder direkt den Stichworten Newton Verfahren oder Brent Verfahren nachgehen.

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