globales Minimum (mit Sinus) / Folge (bzw. Sinus und Cosinus gegen Unendlich)

07.06.2011, 22:10

cybersepp

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globales Minimum (mit Sinus) / Folge (bzw. Sinus und Cosinus gegen Unendlich)

Meine Frage:
Hallo, ich hänge bei folgender Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 * sin^2 (\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

a) Man zeige, dass f in 0 ein globales Minimum besitzt
b) Man gebe eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} x_n \Rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_n) < 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a)
Meine Idee war, erstmal zu zeigen, dass f in 0 Diffbar ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{eqnarray*}$ = \frac{0}{0} \Rightarrow [/latex] Anwendung von l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } \frac{2sin \frac{1}{x} (xsin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x}) }{1} \end{eqnarray*}$

Hier steckt mein (erstes) Problem.

was ergibt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0 } cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ???

07.06.2011, 22:19

tigerbine

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RE: globales Minimum (mit Sinus) / Folge (bzw. Sinus und Cosinus gegen Unendlich)
zu (a). Es ist nach einem globalen, nicht nach einen lokalen Minimum gefragt. Wie lautet f(0) und was kann man für f(x) für x ungleich auf jeden Fall sagen?

07.06.2011, 22:27

cybersepp

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ohh, das hätte ich jetzt völlig überlesen, dass hier nach einem globalen gefragt ist.

f(0) = 0

Zitat:

was kann man für f(x) für x ungleich auf jeden Fall sagen

$\begin{eqnarray*} sin^2\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (sin\frac{1}{x})^2 \end{eqnarray*}$ -> man kann sagen, dass f ungleich 0 aufjedenfall positiv ist.

07.06.2011, 22:30

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot \sin^2 (\frac{1}{x}) = (x\cdot \sin(\frac{1}{x}))^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun hätte ich gerne genau begrünet, warum es hier keine Nullstelle mehr gibt. Positiv ansonsten lesen wir ja einfach ab.

07.06.2011, 22:37

cybersepp

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weil $\begin{eqnarray*} sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht 0 werden kann. Denn der Sinus wird nur bei 0 gleich 0 und sonst erst bei Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq \pi \end{eqnarray*}$ aber das ist ja nicht wegen dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht möglich.

hmm...nur wohin führt mich die Gewissheit?

07.06.2011, 22:46

tigerbine

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Wir wollen lernen, unsere Ideen korrekt mitzuteilen. Betrachten wir mal die Intervalle

$\begin{eqnarray*} ]0,1[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [1,\infty[ \end{eqnarray*}$

Es gibt ja so was wie Kehrbrüche.... Da wird das erste Intervall interessant. Fragen wir uns also nochmal nach Nullstellen. Gibt es wirklich keine mehr? Oder gibt es welche? Wie wirkt sich das auf unsere Aussage globales Minimum aus? Sie bleibt, es ist nur kein .... globales Minimum.

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07.06.2011, 22:48

cybersepp

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durch deine Erklärung kommt mir eine Idee.

Die Ableitung muss ja 0 ergeben, als notwendige Bedingung, dass ein Extremwert existiert, heißt:

f'(x) = 0

$\begin{eqnarray*} 2sin \frac{1}{x} (xsin\frac{1}{x} - cos\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ = 0 und da das ja nicht möglich ist, wegen (weil $\begin{eqnarray*} sin \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht 0 werden kann. Denn der Sinus wird nur bei 0 gleich 0 und sonst erst bei Zahlen $\begin{eqnarray*} \geq \pi \end{eqnarray*}$ aber das ist ja nicht wegen dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht möglich.)
Kann es kein Extrempunkt geben.

...hmm, naja, jedenfalls nur nicht in den Punkten x ungleich 0

07.06.2011, 22:49

tigerbine

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Wir brauchen hier keine Ableitung als Argument. Wir wollen global beurteilen. Die Ableitung ist ein lokales Kriterium.

07.06.2011, 23:03

cybersepp

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Zusammengefasst:

Es wird ein globales Minimum gesucht, also schau ich mir nur die Funktion an!?

Dann habe ich herausgefunden, dass die Funktion nur positive Werte annehmen kann (für x ungleich 0).

D.h. ich schaue ob es ein f(x) = 0 gibt (denn das wäre ein lokales/globales Minimum).

wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ werden folgende Intervalle interessant: $\begin{eqnarray*} ]0,1[ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [1,\infty[ \end{eqnarray*}$

Es zeigt sich, dass es mehrere Nullstellen gibt -> "mehrere Minimums" -> Es gibt mehr als ein globales Minimum.... (oder verstehe ich das falsch?)

Zitat:

Wie wirkt sich das auf unsere Aussage globales Minimum aus?

D.h. Wenn mehr als ein globales Minimum existiert, ändert das nichts an der AUssage, dass auch f(0) = 0 ein globales Minimum ist?!?

07.06.2011, 23:12

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot \sin^2 (\frac{1}{x}) = (x\cdot \sin(\frac{1}{x}))^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

a) Man zeige, dass f in 0 ein globales Minimum besitzt

Das folgt also sofort, wenn man sich die Funktion nur passend aufschreibt. Es ist x=0 aber nicht die einzige Stelle mit f(x)=0. Somit handelt es sich nicht um ein globales Minimum. Danach war nicht gefragt, aber man sollte da ein Gefühl für bekommen. Und du hattest das "Kehrbruchintervall" ja außer achte gelassen.

Wenn das klar ist, können wir hier weiter machen

Zitat:

b) Man gebe eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} x_n \downarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_n) < 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Schauen wir wieder ins Bild um uns inspierien zu lassen. Wähle einen Startwert. Da hat man gute Chancen was gültiges zu treffen.

Nun zoomen wir wieder rein. Gott sei dank oszilliert die Funktion ja immer heftiger. Denn unsere Folge muss ja beliebig nahe an 0 kommen.

07.06.2011, 23:24

cybersepp

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Ja, jetzt ist es klar: Für Globale Extrema muss man die ganze Funktion betrachten, für lokale Extrema schaut man sich nur ein bestimmtes Intervall an.

Aber nur um auf Nummer sicher zu gehen:
Da, x = 0 nicht das einzige (globale) Minimum ist, welches an der Stelle f(x)=0 ist, kann es kein globales Minimum sein, sondern nur ein lokales!?
Das würde heißen, die Frage a) stimmt nicht??

Vielen lieben Dank für die Erklärung! Dann noch Zeichnungen dazu, 1A!! Freude

Freude

Folgen liegen mir eigentlich gar nicht, aber da werf ich doch gleich mal einen Blick genauer drauf und überleg mir was dazu.

07.06.2011, 23:31

tigerbine

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Leider hast du meinen Post nicht verstanden. Gobales Minimum zu sein, bedeutet nur, dass dort der kleinste Funktionswert angenommen wird. Es bedeutet nicht die "Exklusivität" dieser Eigenschaft. triviales Beispiel aus der Schule,

Wir betrachen die Funktion auf [-1.5,1.5]. Die globalen Minima sind bei x=-1.5 und x=1.5. Denn es gilt

$\begin{eqnarray*} f(-1.5)=f(1-5) \leq f(x)~\forall x \in [-1.5,1.5] \end{eqnarray*}$

Das lokale Minimum bei x=0 interessiert uns nicht. Die globalen Minima sind aber nicht strikt. Denn es gibt ja mehrere. Neues Intervall

$\begin{eqnarray*} f(-1.5)< f(x)~\forall x \in [-1.5,0] \end{eqnarray*}$

Nun haben wir in x=-1.5 ein striktes globales Minimum.

07.06.2011, 23:41

cybersepp

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Doch ich glaube (spätestens jetzt) hab es verstanden:

Zu a) in meiner Aufgabe würde das heißen:

dass f in 0 ein globales Minimum besitzt, ABER kein strikt globales, da es mehrere Stellen gibt bei denen der kleinste Funktionswert angenommen wird.

07.06.2011, 23:53

tigerbine

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So isset.

08.06.2011, 00:00

cybersepp

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zu

Zitat:

b) Man gebe eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} x_n \downarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_n) < 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

...das schaue ich mir morgen / übermorgen mal genauer an, da habe ich nämlich grad überhaupt keine Ahnung.

Vielen Dank für die tolle Erklärung zur a!!!

08.06.2011, 00:01

tigerbine

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Zu b) stehen die Ideen/Motivationen ja schon da. Also versuch dich die Tage einfach daran.

Wink

Wink

10.06.2011, 00:26

cybersepp

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heute haben wir einen Tipp von unsrerem Professor bekommen:

zu

Zitat:

b) Man gebe eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ an mit $\begin{eqnarray*} x_n \downarrow 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(x_n) < 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wir sollen f'(x) bilden und dann durch geschickte Wahl von x zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x_n) \end{eqnarray*}$ immer < 0 ist.

ich hab mal das f(x), $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x * sin^2 \frac{1}{x} + x^2 * (2*sin \frac{1}{x} * cos \frac{1}{x} * \frac{-1}{x^2}) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2x * sin^2 \frac{1}{x} - 2*sin \frac{1}{x} * cos \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} f'(x) = sin \frac{1}{x} (2x * sin \frac{1}{x} - 2 cos \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2sin \frac{1}{x} (x * sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ =

Soweit so gut. Mir fehlt jetzt einerseits nur das Verständnis: Warum ich hier zeigen will das / wie $\begin{eqnarray*} f'(x_n) < 0 \end{eqnarray*}$ wird. ...ich nehme mal an, dass mache ich nur, weil es so in der Angabe steht, bzw. eines der gegebenen Voraussetzungen ist.

Andererseits weiß ich nicht wie ich das zeigen soll, bzw. auf was ich da schauen soll?
In deiner Grafik könnte ich mir schon den ein oder anderen Punkt raus picken, aber woher weiß ich welchen, bzw. wie mache ich das ohne Grafik?

10.06.2011, 00:31

tigerbine

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Es würde Sinn machen, über die "Perioden" nachzudenken. Und ob es einfach zu konstruierende Punkte gibt, wo man eine negative Ableitung findet.

Deiner Albeitung kann ich so nicht folgen. Klammern fehlen.

10.06.2011, 00:45

cybersepp

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aber die finale Ableitung dürfte stimmten:
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 2sin \frac{1}{x} (x * sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Ich hab mich weiter schlau gemacht und bin auf folgendes gestoßen, wenn man sollte den Wert $\begin{eqnarray*} sinx = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ anschauen.

Ich habe einen Wert gefunden für den $\begin{eqnarray*} sinx = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ den Wert -1 annimmt, dass wäre der Wert $\begin{eqnarray*} z_n = \frac{1}{\frac{3}{2 \pi}+ n * 2 \pi} \end{eqnarray*}$

10.06.2011, 00:48

cybersepp

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allerdings würde ich dann rausbekommen:

Da ich denke, dass aus cos(x) mit dem Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{3}{2 \pi}+ n * 2 \pi} \end{eqnarray*}$ 0 rauskommt, ergibt dies zusammen:

2 * (-1) * (x* (-1) - 0) = negativer Wert * (negativer Wert) = positiver Wert ..... also brauch ich einen anderen Wert als $\begin{eqnarray*} sinx = \frac{1}{x} = -1 \end{eqnarray*}$ !?

Zitat:

Es würde Sinn machen, über die "Perioden" nachzudenken

Was meinst Du damit?

10.06.2011, 00:50

tigerbine

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Damit meine ich, dass ich um das Argument des sinus gerne eine Klammer hätte. Siehe:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \cdot \sin^2 (\frac{1}{x}) = (x\cdot \sin(\frac{1}{x}))^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$

Sonst ist das ziemlicher Wust bei langen Termen.

$\begin{eqnarray*} f'(x) &&=2(x\cdot \sin(\frac{1}{x}))\cdot (\sin(\frac{1}{x}) - x\cdot \cos(\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^2}) <br /> &&=2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) \cdot (x \cdot \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$

Wo setzen wir an, um Nullstellen der Ableitung möglichst einfach zu finden?

10.06.2011, 01:03

cybersepp

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Nullstelle der Ableitung, also f'(x) = 0 , aber ich brauch doch eine Stelle die < 0 ist?

f'(x) = 0

Ich würde versuchen den linken Teil des Produktes 0 zu setzten.

$\begin{eqnarray*} 2* sin (\frac{1}{x}) = 0 \end{eqnarray*}$

gelingt mir das, wenn ich $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n * \pi} \end{eqnarray*}$

10.06.2011, 01:08

cybersepp

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hmm, aber die sinus Funktion hat doch zwischen 0 - $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nur eine Nullstelle in 0 und $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , der übersehe ich da wieder was??

10.06.2011, 01:08

tigerbine

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Was bist du gleich so unzufrieden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir haben doch den Plot gesehen. Kennen wir eine Nullstelle, so wechselt dort doch die Steigung. Also versuchen wir doch erst mal das einfache zu lösen.

$\begin{eqnarray*} 0=2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) \cdot (x \cdot \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$

Da nehmen wir uns also vor, auf ]0,1[

$\begin{eqnarray*} 0 = \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Liegen hier nun Minima oder Maxima vor?

10.06.2011, 01:13

cybersepp

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beides, jeweils lokales Minima bei -1 und Maxima bei +1, oder bring ich da wieder was durcheinander?? (und schon wieder bin ich unzufrieden verwirrt

verwirrt

)
oder steht der Graph jetzt für die Ableitungsfunktion und ich muss dort nach Nullstellen schauen, welche meine Minima, bzw. Maxima sein könnten?!

10.06.2011, 01:16

tigerbine

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Was soll +/- 1 bedeuten? Der Plot zeigt doch nur die sin(1/x), steht doch auch immer drin.

Könntest du uns (mit Klammern) auch mal die zweite Ableitung von f hinschreiben. Dann bekommen wir ja eindeutige Ergebnisse.

10.06.2011, 01:23

cybersepp

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \cos(\frac{-1}{x^2}) \end{eqnarray*}$

(oder das komplette f noch mal ableiten??)

Mit dem +/- 1 meinte ich, an der Stelle wo das f(x) = +/-1 annimmt, dort sind die Maxima, bzw. Minima.

10.06.2011, 01:24

tigerbine

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Natürlich das komplette f. Und wenn man Teilfunktionen betrachtet, nennt man die nie wie Hauptfunktion. Und f sah so aus:

Was kann man da über die Nullstellen eigentlich sagen ... ?

Danach müssen wir uns den zweiten Faktor vornehmen.

10.06.2011, 01:33

cybersepp

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$\begin{eqnarray*} f''(x) = ( (2*cos(\frac{-1}{x^2}) * (x*sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}) ) + ((2*sin(\frac{1}{x})*(sin(\frac{1}{x})*x*cos(\frac{-1}{x^2})+sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

Über die Nullstellen kann man sagen, dass es mehrere gibt.

Beim zweiten Faktor gibt es auch mehrere Nullstellen, besonders viele im bereich [0; 0.1]

10.06.2011, 01:35

tigerbine

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ROFL

Der war gut. Es gibt unendlich viele Nullstellen. Mit Zunge

Mit Zunge

1. Was ergibt nun die zweite Ableitung, wenn du deine ermittelten x_n einsetzt für Werte? Größer oder kleiner 0? Oder wann was?

10.06.2011, 01:39

cybersepp

Auf diesen Beitrag antworten »

da sind wir heut nicht so und setzten "mehrere" mit "unendlich" gleich Big Laugh

Big Laugh

Wenn:

f'' > 0 -> lokales Minimum
f'' < 0 -> lokales Maximum

aber die Funktion sieht ja noch schrecklicher aus als die erste Ableitung

HAb ich denn schon ermittelte $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Werte???

Hatte ich doch recht mit:
$\begin{eqnarray*} 2* sin (\frac{1}{x}) = 0 \end{eqnarray*}$

gelingt mir das, wenn ich $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n * \pi} \end{eqnarray*}$ ??

10.06.2011, 01:41

tigerbine

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Wir haben die erste Ableitung faktorisert. Die wird 0, wenn mind. ein Faktor 0 ist. Damit Chance auf lokalen Extremwert. Nun diese Werte in die zweite Ableitung einsetzen und ausrechnen. Willkommen in der Welt der Kurvendiskussion [Das Abitur verdrängt man so gerne. Big Laugh

Big Laugh

]

also, was kommt raus, Watson?

10.06.2011, 01:47

cybersepp

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das Abitur ist einfch schon viiiiiieeeel zu lange her

$\begin{eqnarray*} f''(x) = ( (2*cos(\frac{-1}{x^2}) * (x*sin(\frac{1}{x}) - cos(\frac{1}{x}) ) + ((2*sin(\frac{1}{x})*(sin(\frac{1}{x})*x*cos(\frac{-1}{x^2})+sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = (2*(-1)*(..*0) - (-1) + (2*0*0*x*(-1) + 0) = 1 > 0 \end{eqnarray*}$ -> lokales Minimum

10.06.2011, 01:49

cybersepp

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und wie bringe ich das jetzt wieder mit meiner "Folge" / Fragestellung zusammen?

10.06.2011, 01:53

tigerbine

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So, die Nullstellen des ersten Faktors sind also die Minima.

Wo hat der zweite Faktor seine Nullstellen? Dort müssen die Maxima sein. Und im Intervall "[Min,Max]" finden wir dann stellen mit neg. Ableitung.

10.06.2011, 01:56

cybersepp

Auf diesen Beitrag antworten »

du meinst der zweite Faktor von:
$\begin{eqnarray*} f'(x) &&=2(x\cdot \sin(\frac{1}{x}))\cdot (\sin(\frac{1}{x}) - x\cdot \cos(\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^2}) <br /> &&=2 \cdot \sin(\frac{1}{x}) \cdot (x \cdot \sin(\frac{1}{x})-\cos(\frac{1}{x}) ) \end{eqnarray*}$

der hat meines erachtens keine Nullstellen?!

10.06.2011, 02:02

tigerbine

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Sehe ich anders.

10.06.2011, 02:08

cybersepp

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ja, mit na Zeichnung würde ich das auch "sehen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

, aber wie genau die sind könnte ich auf anhieb nicht errechen...

10.06.2011, 02:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wir dürfen uns hier doch mit Skizzen motivierend behelfen. Und du hättest sie ja auch mal machen können.

Die Optik suggeriert, dass die Nullstellen des zweiten Faktors die Maxima liefern. Wir müssen unsere Punkte also etwas "rechts" der xn suchen, dürfen aber nicht zu weit gehen.

Nun versuch dir doch mal eine Folge zu basteln, die diesem Anspruch gerecht wird.

10.06.2011, 02:22

cybersepp

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Also etwas größer als $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n * \pi} \end{eqnarray*}$ ?

Wie z.B. $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{1}{n * \pi + \frac{1}{2} \pi } \end{eqnarray*}$ ...ich weiß ehrlich gesagt nicht so recht, auf welche Werte ich da schauen muss.

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