Fixgerade/Geometrie

07.06.2011, 22:52	evita86	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixgerade/Geometrie so....noch ne frage. wenn die folgende affine abbildung $\begin{eqnarray} \alpha :\vec{x} ->\vec{x'} = A\vec{x} +c \end{eqnarray}$ zwei verschiedene Fixpunkte hat. ich nenn sie mal F1 und F2. dann ist die gerade durch F1 und F2 eine fixgerade. wie zeige ich das denn? bin froh über hilfe
08.06.2011, 00:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt dann, wenn diese Abbildung geradentreu ist, also Geraden wieder auf Geraden abgebildet werden. mY+
08.06.2011, 12:25	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos: Da A eine Matrix ist und somit lineare Abbildung repräsentiert, werden durch die affine Abbildung $\begin{eqnarray} \vec x'=A\vec x+\vec c \end{eqnarray}$ immer Geraden auf Geraden abgebildet. Das war auch gar nicht die Frage. Satz: Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec a_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec a_1 \end{eqnarray}$ Fixpunkte der affinen Abbildung $\begin{eqnarray} \vec x'=A\vec x+\vec c \end{eqnarray}$ sind, dann sind auch diejenigen Punkte Fixpunkte, welche auf der Geraden liegen, die durch $\begin{eqnarray} \vec a_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec a_1 \end{eqnarray}$ geht. Beweis: Wenn $\begin{eqnarray} \vec a_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec a_1 \end{eqnarray}$ Fixpunkte sind, dann gilt $\begin{eqnarray} \vec a_0=A\vec a_0+\vec c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec a_1=A\vec a_1+\vec c \end{eqnarray}$ Addiere das (1-t)-fache der 1.Gleichung zum t-fachen der 2.Gleichung. $\begin{eqnarray} (1-t)\vec a_0+t\cdot \vec a_1=(1-t)A\vec a_0+(1-t)\vec c+t\cdot A\vec a_1+t\cdot \vec c \end{eqnarray}$ Sortieren ergibt (wenn man die Linearität von A benutzt) $\begin{eqnarray} \underbrace{\vec a_0+(\vec a_1-\vec a_0)\cdot t}_{\text{Gerade durch }\vec a_0\text{ und }\vec a_1}=A[\underbrace{\vec a_0+(\vec a_1-\vec a_0)\cdot t}_{\text{Gerade durch }\vec a_0\text{ und }\vec a_1}]+\vec c \end{eqnarray}$ Bekanntlich ist der Ausdruck $\begin{eqnarray} \vec a_0+(\vec a_1-\vec a_0)\cdot t \end{eqnarray}$ gerade die Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte $\begin{eqnarray} \vec a_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec a_1 \end{eqnarray}$ , wobei t den Parameter bezeichnet. w.z.b.w.
08.06.2011, 13:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos Das war durchaus schon die Frage. Denn wenn bei einer geradentreuen Abbildung zwei Fixpunkte bekannt sind, die nun sowohl auf der Ur- als auch auf der Bildgeraden liegen, so müssen auch alle anderen Punkte dieser Geraden auf dieselbe Bildgerade abgebildet werden und diese muss eben dann eine Fixgerade sein. Was ist an dieser Überlegung nicht richtig? Und: Bitte nicht wieder eine Komplettlösung posten! mY+
08.06.2011, 14:03	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@mythos Ich wollte nur sagen: Der Fragesteller hatte nach dem Beweis gefragt. Du bist darauf nicht eingegangen, sondern hast nur eine Bedingung für die Behauptung genannt (Geradentreue). Das ist natürlich richtig, es beantwortet aber nicht die Frage.

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