f Projektion <=> f idempotent

08.06.2011, 09:09	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
f Projektion <=> f idempotent Bräuchte einen kleinen Schubser bei einer Aufgabenstellung: $\begin{eqnarray} f\in L(V,V) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ich soll zeigen: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Projektion $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow f \end{eqnarray}$ idempotent d.h. $\begin{eqnarray} f\circ f=f \end{eqnarray}$ so...lt. skript ist die definition von Projektion: $\begin{eqnarray} V=U_1\oplus U_2 \end{eqnarray}$ ist direkte Summe zweier Unterräume, so kann man jeden Vektor aus $\begin{eqnarray} x\in V \end{eqnarray}$ eindeutig darstellen als $\begin{eqnarray} x=u_1+u_2 \end{eqnarray}$ . dann ist eine Projektion $\begin{eqnarray} p:V\to U_1:x\mapsto u_1 \end{eqnarray}$ der Hinweis zur Aufgabe: Schließe aus $\begin{eqnarray} f\circ f=f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} V=\ker f\oplus f(V) \end{eqnarray}$ so...mein Ansatz wäre: $\begin{eqnarray} f(x-f(x))=f(x)-f(f(x))=f(x)-f(x)=0\Rightarrow x-f(x)\in \ker f \end{eqnarray}$ und nun kann ich jeden Vektor darstellen als $\begin{eqnarray} x=\underbrace{x-f(x)}_{\in \ker f}+\underbrace{f(x)}_{\in f(V)} \end{eqnarray}$ da das $\begin{eqnarray} \forall x\in V \end{eqnarray}$ eindeutig ist (hoffe ich halt ?!) hätte ich auch die Projektion $\begin{eqnarray} f:V\to \ker f:x\mapsto x-f(x) \end{eqnarray}$ aber irgendwie komm ich nicht weiter...denn ich glaub nicht dass ich schon fertig bin... bin dankbar für "jede" Hilfe
08.06.2011, 10:14	MichaelK	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Richtung " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " sieht schon mal ganz gut aus. Nun musst du aber noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ idempotent ist, wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine Projektion ist. - Michael -
08.06.2011, 12:30	invenro	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh...kk... und die andere richtung wäre dann : $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ projektion $\begin{eqnarray} \Rightarrow f\circ f=f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V=U_1\oplus U_2 \end{eqnarray}$ (das kann ich glaub ich annehmen...da dass bei meiner projektionsdefinition dabei war! ) dann sei eine projektion: $\begin{eqnarray} f:V\to U_1:x\mapsto u_1 \end{eqnarray}$ mit den bezeichnungen von vorher! wg. der direkten summe ist doch die darstellung $\begin{eqnarray} x=u_1+u_2 \end{eqnarray}$ eindeutig. z.z.: $\begin{eqnarray} (f\circ f)(x)=f(x) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} f\circ f=f(f(x))=f(u_1)=u_1=f(x) \end{eqnarray}$ womit ich fertig wäre (zumind. mit den nerven D )

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