Normen verträglich, äquivalent

08.06.2011, 11:11	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Normen verträglich, äquivalent Hallo. Ich habe eine Frage. Es geht um folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f: U \to \mathbb{R}^m \end{eqnarray}$ eine Funktion, wobei die Ableitung von f beschränkt ist und $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ konvex ist. Dann ist die Funktion Lipschitzstetig, also es gilt: $\begin{eqnarray} \parallel f(x) - f(y) \parallel_\infty \le L \parallel x - y \parallel_\infty \end{eqnarray}$ mit Lipschitzkonstante $\begin{eqnarray} L = sup_{z \in U} \parallel f'(z) \parallel \end{eqnarray}$ . Den Beweis dazu habe ich verstanden. Die Idee ist, dass man über den MWS im Mehrdimensionalen geht (zuerst muss man das komponentenweise machen), dann kann man abschätzen (durch die Verträglichkeit der Normen) und erhält das obige Ergebnis. Jetzt soll der obige Satz verallgemeinert werden für Funktionen $\begin{eqnarray} f: X \to Y \end{eqnarray}$ mit Normen $\begin{eqnarray} \parallel . \parallel_X , \parallel . \parallel_Y \end{eqnarray}$ und X,Y endlichdimensional. Die Lösung ist, dass die Aussage und der Beweis derselbe bleibt nur mit dem Unterschied, dass bei der Lipschitzkonstante L ein Faktor dazukommt wegen der Verträglichkeit von Normen. Meine Frage: Ich verstehe nicht, warum ich den Faktor brauche. Die Abschätzung funktioniert ja über die Verträglichkeit von Normen, die ja für allgemeine Vektorräume definiert ist. Da braucht man ja auch keinen Faktor mehr. Oder ist der MWS nur für Teilräume des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ definiert? Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar, frieder
08.06.2011, 13:32	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normen verträglich, äquivalent Kommt der Faktor nicht eher wegen der "Äquivalenz" von Normen hinzu. Wobei ich hier natürlich an endlich-dimensional über C oder IR (einschränkend) denke. So wundert mich aber zumindest ein Faktor nicht. Kannst du den Beweis zeigen? Mich erinnert das an an den MWS im Heuser 2.

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