Exponentialfunktion zur Sinusschwingung

08.06.2011, 11:02

Regret91

Exponentialfunktion zur Sinusschwingung

Also die Aufgabe:

Das Signal wird ausgestahlt. Die Amplitude des Signals nimmt mit zunehmender Entfernung s ab nach der Funktion $\begin{eqnarray*} a(s)= a0*e^{\alpha s} \end{eqnarray*}$ ab. Nach 69,3m ist die Amplitude des Signals nur noch halb so groß wie zu Beginn. Berechnen Sie zunächst den Dämpfungsfaktor $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und dann die Strecke s nach der die Amplitude des Signals nur noch 10% des Anfangswertes beträgt.

Dazu gibts ne Zeichnung, die Sinusschwingung beginnt bei x=0 auf y=3 und fällt dann ab. Die Zeichnung zeigt die Schwingungen bis x=100. ( Hoffentlich kann man sich etwas darunter vorstellen ^^ )

Also mein Problem ist ich hab ne Lösung, weiß allerdings nicht ob sie richtig ist und wenn sie es sein sollte, weiß ich nicht genau warum man manche Schritte macht, da ich sie einfach eine andere Aufgabe als Muster genommen habe.

Ich schreib einfach mal was ich gemacht habe und warum bzw. wo ich Fragen habe.

also aus der Grundformel $\begin{eqnarray*} a(s)= a0*e^{\alpha s} \end{eqnarray*}$ hab ich dann erstmal die Werte die ich habe eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} a(69,3)= a0*e^{\alpha 69,3} \end{eqnarray*}$

a(69,3) ist ja in dem Fall das gleiche wie 0,5*a0 also kam ich dann darauf:

$\begin{eqnarray*} 0,5*a0 = a0*e^{\alpha 69,3} \end{eqnarray*}$ dann durch a0, das fällt dann weg

$\begin{eqnarray*} 0,5 = e^{\alpha 69,3} \end{eqnarray*}$ jetzt hab ich in der anderen aufgabe gesehen da wurde das mit ln gemacht, mir ist auch klar das wenn da e steht, ln der best gewählte logarithmus ist aber wieso genau es sich dann auflöst weiß ich nicht.

ich hab es dann so gemacht:

$\begin{eqnarray*} ln0,5= ln e^{\alpha 69,3} \end{eqnarray*}$

dadurch fällt ja das e weg ( ich ( ich bin mir nicht sicher aber ich vermute das ln(e) = 1 gibt da man den exponent 1 braucht um aus e wieder e zu machen, aber sicher bin ich mir da leider nicht ganz.

dann hab ich weiter gemacht undzwar :

$\begin{eqnarray*} ln0,5 = \alpha*69,3 \end{eqnarray*}$ dann durch 69,3 da ich ja $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ alleine brauche.

also $\begin{eqnarray*} \frac{ln0,5}{69,3}= \alpha \end{eqnarray*}$

dann als ergebnis $\begin{eqnarray*} \alpha = -0,01 \end{eqnarray*}$

Jetzt zur strecke:

wieder die Grundformel $\begin{eqnarray*} a(s)= a0*e^{\alpha s} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich gedacht wenn der Anfangwert 3 ist sind 10% ja nur 0,3

Also hab ichs dann so gemacht:

$\begin{eqnarray*} 0,3= 3*e^{-0,01*s} \end{eqnarray*}$ durch 3

$\begin{eqnarray*} 0,1= e^{-0,01*s} \end{eqnarray*}$ dann wieder mit logarithmus ln

$\begin{eqnarray*} ln0,1=ln e^{-0,01*s} \end{eqnarray*}$ durch (-0,01)

$\begin{eqnarray*} \frac{ln 0,1}{-0,01} = s \end{eqnarray*}$

dann als Ergebnis hab ich s=230,26m

Sodala jetzt hoff ich das wenigstens das Ergebnis stimmt, ihr durchsteigt was ich gemacht hab und mir vielleicht den ein oder anderen Tipp bzw. Hinweis geben könnt warum man das so macht usw.

Mfg Regret smile

08.06.2011, 11:39

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktion zur Sinusschwingung

Zitat:

Also mein Problem ist ich hab ne Lösung, weiß allerdings nicht ob sie richtig ist und wenn sie es sein sollte, weiß ich nicht genau warum man manche Schritte macht, da ich sie einfach eine andere Aufgabe als Muster genommen habe.

[...]

$\begin{eqnarray*} ln0,5= ln e^{\alpha 69,3} \end{eqnarray*}$

dadurch fällt ja das e weg ( ich ( ich bin mir nicht sicher aber ich vermute das ln(e) = 1 gibt da man den exponent 1 braucht um aus e wieder e zu machen, aber sicher bin ich mir da leider nicht ganz.

Die Lösungen stimmen. Du hast alles richtig gemacht. Vor allem: Du zeigst durch Deine Kommentare, daß Du ein tiefes Verständnis für die Mathematik entwickelt hast, die dahintersteckt. Ich kann nur gratulieren!

Du Deiner Unsicherheit bezüglich $\begin{eqnarray*} lnx \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ : die eine Funktion ist einfach jeweils die Umkehrfunktion der anderen, so wie $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ . Und so wie $\begin{eqnarray*} \sqrt {x}^2 = x \end{eqnarray*}$ gilt eben auch $\begin{eqnarray*} ln(e^x) = x \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

08.06.2011, 12:13

Regret91

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Vielen Dank, sowas hört man gerne smile

Okay das erklärt dann einiges, wäre anstatt e eine 10 in der funktion gewesen hätte man am besten den log benutzt oder? der würde das Ganze ja dann auch wieder auf 1 bringen.

Aber was wäre jetzt eigentlich wenn anstatt e eine Zahl wie 16 da stehen würde?

Also :
$\begin{eqnarray*} a(s)=a0*16^{\alpha s} \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Formel umgestellt ja:

$\begin{eqnarray*} 0,5 =16^{\alpha s} \end{eqnarray*}$

Aber wie macht man das dann in diesem Fall?

Weil Beispielsweise
$\begin{eqnarray*} 2^{x}=8 \end{eqnarray*}$ wird ja gerechnet: $\begin{eqnarray*} \frac{log_{8} }{log_{2}} = 3 \end{eqnarray*}$

Aber kann ich das einfach in dem Fall auch so machen?

also : $\begin{eqnarray*} 0,5=\frac{log_{16} }{log_{0,5}}\alpha*s \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 13:48

Steffen Bühler

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0,5 =16^{\alpha s} \end{eqnarray*}$

Aber wie macht man das dann in diesem Fall?

Mit dem Satz $\begin{eqnarray*} log_{a}{x} = \frac {lnx}{lna} \end{eqnarray*}$ kommst Du hier weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac {ln0,5}{ln16} = \alpha \cdot s \end{eqnarray*}$

Zitat:

Weil Beispielsweise
$\begin{eqnarray*} 2^{x}=8 \end{eqnarray*}$ wird ja gerechnet: $\begin{eqnarray*} \frac{log_{8} }{log_{2}} = 3 \end{eqnarray*}$

Du mußt bei der Notation ein bißchen aufpassen. Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} log_8 \end{eqnarray*}$ ist der Logarithmus zur Basis 8. Was Du hier vielleicht meinst, ist $\begin{eqnarray*} lg8 \end{eqnarray*}$ , also der Zehnerlogarithmus der Zahl 8, also 0,903...
Falls Du das meinst, hast Du recht, in der Tat ist $\begin{eqnarray*} \frac{lg8}{lg2} = 3 \end{eqnarray*}$
Übrigens ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{ln8}{ln2} = 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber kann ich das einfach in dem Fall auch so machen?

also : $\begin{eqnarray*} 0,5=\frac{log_{16} }{log_{0,5}}\alpha*s \end{eqnarray*}$

Nein, so wird das leider nichts. Die 3 oben ist das Ergebnis des Zweierlogarithmus von 8. Aber Du willst ja den Sechzehnerlogarithmus. So mußt Du die von mir oben genannte Formel verwenden.

Viele Grüße
Steffen

08.06.2011, 14:37

Regret91

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Naja also erstmal danke für deine Antwort aber ich hätte da noch ein paar Fragen :/

Ich glaube ich muss mich noch etwas an den Logarithmus gewöhnen...

Was rechnet man eigentlich genau wenn man
$\begin{eqnarray*} \frac{ln8}{ln2} = 3 \end{eqnarray*}$ rechnet? Weil eigentlich rechnet man doch in dem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{log_{10}8}{log_{10}2}=3 \end{eqnarray*}$ oder liege ich da falsch?
Also ich weiß, dass es geht mich interessiert nur warum das so ist.

$\begin{eqnarray*} \frac {ln0,5}{ln16} = \alpha \cdot s \end{eqnarray*}$ Mit ln0,5/ln16 rechne ich ja jetzt eigentlich den Zahlenwert für den Exponent alpha*s und stelle das dann noch um auf s, um den Anteil von s am Zahlenwert festzustellen oder?Also: $\begin{eqnarray*} \frac{ln0,5}{ln16}= -0.01*s \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \frac{lg0,5}{lg16}= -0.01*s \end{eqnarray*}$ ( dürfte ja egal sein welchen logarithmus oder? )

->

$\begin{eqnarray*} -0,25=-0,01*s \end{eqnarray*}$

und ergebnis:

$\begin{eqnarray*} s=25 \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 15:06

Steffen Bühler

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Zitat:

Was rechnet man eigentlich genau wenn man
$\begin{eqnarray*} \frac{ln8}{ln2} = 3 \end{eqnarray*}$ rechnet?
Weil eigentlich rechnet man doch in dem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{log_{10}8}{log_{10}2}=3 \end{eqnarray*}$ oder liege ich da falsch?

Du berechnest die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2^x = 8 \end{eqnarray*}$

Hier kannst Du auf beiden Seiten logarithmieren, und die Basis ist dabei egal:

$\begin{eqnarray*} log_a(2^x) = log_a8 \end{eqnarray*}$

Da gilt $\begin{eqnarray*} log_a(u^w) = w \cdot log_au \end{eqnarray*}$ , wird das vereinfacht zu

$\begin{eqnarray*} x \cdot log_a2 = log_a8 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} x = \frac {log_a8}{log_a2} \end{eqnarray*}$

Probier's auf dem Taschenrechner ruhig aus: es ist egal, ob Du ln oder lg nimmst.

Zitat:

und ergebnis:
$\begin{eqnarray*} s=25 \end{eqnarray*}$

Und wenn Du das in $\begin{eqnarray*} 16^{\alpha \cdot s} \end{eqnarray*}$ einsetzt, ergibt sich mit $\begin{eqnarray*} \alpha = -0,01 \end{eqnarray*}$ in der Tat 0,5.

Viele Grüße
Steffen

08.06.2011, 16:44

Regret91

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woah vielen dank smile

ich hoff wir machen im unterricht noch bisschen was zu dem Thema das ich mehr Übung bekomme

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