Bestimmen von Summen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung

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mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von Summen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
Meine Frage:
Hallo Mathefreunde,
ich muss von folgendem Bruch die Summe bilden und die Konvergenz bestimmen.



Meine Ideen:
Die Summe habe ich folgendermaßen gebildet:



Jetzt verwende ich die Partialbruchzerlegung:



und komme nach umstellen usw. auf A+B=2 => A=-1 und B=3

Jetzt habe ich natürlich das völlig ausgeblendet. Die oberen Angaben (A=-1 und B=3) gelten eigentlich nur, wenn n gerade ist, da dann =1 ist.

Muss ich da jetzt eine Fallunterscheidung machen?
Für n ungerade wäre ja =-1

Dann wäre A=1 und B= - 3.

Aber wie würde ich dann beide Fälle wieder zusammen führen?

Wäre mein n gerade, dann käme ich auf folgende Summe:



Mein und konvertiert gegen 0

Die gesamte Summe konvertiert gegen 1.

Wenn mein n jetzt aber ungerade ist, dann kehren sich ja alle Vorzeichen um. Und die gesamte Summe konvertiert gegen -1.

Wenn ich jetzt alle ungeraden n und alle gerade n zusammen führe, würde die gesamte Summe doch gegen 0 konvertieren, oder?

Ich hoffe, ich habe mich nicht ganz so undeutlich ausgedrückt.

Vielen Dank für eure Antworten!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathe1234554321
Die Summe habe ich folgendermaßen gebildet:


kommt eher hin - prüf nochmal nach!
mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »

Achja stimmt. Danke!

Dann ist A=1 und B=1. (für n gerade)
A=-1 und B=-1 (für n ungerade)

Dennoch konvergiert die Summe entweder gegen 1 oder gegen -1 (je nachdem, ob n gerade oder ungerade)

Konvergiert die Summe dann für alle n gegen 0?
naphta Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen von Summen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
Da bereits das 1. positive Reihenglied 3 /(1*2) den Wert 1.5 hat und die Summe der ersten drei negativen Terme schon -1.59 beträgt, kann das mit den Grenzwerten der Teilsummen von 1 bzw. -1 doch nicht hinkommen.
mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm guter Einwand. Ich glaube, dass ich einen Fehler bei der Bestimmung von b1 gemacht habe...

b1= 1/(1-1)=0 und da der Grenzwert von bn (1/n) = 0 ist, ist der Grenzwert 0.

Liege ich diesmal richtig?
mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »

bn=1/n-1 und der Grenzwert davon ist 0.

=> Der Grenzwert der gesamten Summe = 0
 
 
mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin es noch einmal. ^^

Der Grenzwert der Summe liegt bei 1.

b1= 1/(2-1) = 1
naphta Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen von Summen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
Der Ausdruck (-1)^n*[(2*n-1)/(n-1)*n] liefert doch für jedes n nur das entsprechende Glied der Reihe, aber nicht deren Summe.
Ich meine, man braucht erst einmal eine Summenformel und kann dann Überlegungen über einen Grenzwert anstellen.
mathe1234554321 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Summe lautet:

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