(x^x)^x, x^(x^x), x^1/2, ...

08.06.2011, 16:28

lilithilli1210

(x^x)^x, x^(x^x), x^1/2, ...

Muss folgende Funktionen ableiten:

$\begin{eqnarray*} a) (x^{x})^{x}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) x^{(x^x)}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) x^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) ln ln (1+x), \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) x^{sinx}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f) \sqrt[3]{x^{\frac{3}{5}}+ sin³(1/x)-tan²(x)}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g) \frac{cosx}{2+sin (lnx)} \end{eqnarray*}$

also bei a) und b) kann man das ganze ja mithilfe von $\begin{eqnarray*} x^{x} = e^{x ln x} \end{eqnarray*}$ umschreiben.

aber wie genau das dann aussehen muss ist mir nicht ganz klar.

kann man bei a) so umformen?:
$\begin{eqnarray*} (x^{x})^{x} = x^{x²} =e^{x² ln x} \end{eqnarray*}$
und wenn ja wie leitet man dann weiter ab?
ich kenne nur die Regeln: $\begin{eqnarray*} e^{x\prime} =e^{x} \ ,\quad e^{kx\prime} =k e^{kx} \end{eqnarray*}$
wendet man das dann auch so an:
$\begin{eqnarray*} e^{x² ln x\prime} = x² ln x \, e^{x² ln x} \end{eqnarray*}$ ?

und bei der b) weiß ich gar nicht wie ich gescheit umformen kann mithilfe von $\begin{eqnarray*} x^{x} = e^{x ln x} \end{eqnarray*}$
wäre das dann: $\begin{eqnarray*} e^{e^{x ln x}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} e^{e^{x\, lnx}\ ln\ e^{x\, lnx}} \end{eqnarray*}$ ?

bei den restlichen wäre ich über Tipps zum Lösungsweg auch sehr dankbar

lg lilithilli smile

08.06.2011, 16:58

Leopold

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Wer denkt sich denn so etwas aus?

Beachte die Logarithmus-Gesetze.

Die Umformung bei a) stimmt zunächst. Beim Ableiten hast du aber die Kettenregel und die Produktregel mißachtet.

Zu a):

$\begin{eqnarray*} f(x) = \left( x^x \right)^x = x^{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = x^2 \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

Jetzt differenzieren. Beachte links die Kettenregel, rechts die Produktregel.

Zu b):

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln f(x) = x^x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

Hier zuvor in einer Nebenrechnung die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = x^x \end{eqnarray*}$ differenzieren:

$\begin{eqnarray*} g(x) = x^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln g(x) = x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 17:06

Realberechner

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Zitat:

Lieber Helfer,

leider verstößt dein Beitrag gegen unser Prinzip "Mathe online verstehen!" im Sinne einer Komplettlösung und wurde daher von uns entfernt.

Dein MatheBoard-Team

Edit (jester.): Die angegebene Lösung zur Aufgabe (e) war außerdem nicht korrekt.

08.06.2011, 17:17

lilithilli1210

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Ausdenken tut sich sowas unser Prof Augenzwinkern

ja habe auch bemerkt, dass ich da noch Kettenregel und Produktregel anwenden muss:

habe das jetzt soweit ausgerechnet:
bei a)

habe f(x) = e^x und g(x) = x² lnx gesetzt und dann bekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{x²\, lnx} \cdot (2x\, lnx + x) \end{eqnarray*}$

bei der b)
für h(x) = x^x
$\begin{eqnarray*} x^x \cdot (1 + lnx) \end{eqnarray*}$

dann weiter mit
f(x) = e^x und g(x)= x^x lnx
$\begin{eqnarray*} e^{x^x \, lnx} \cdot ((x^x \cdot (1 + lnx)) lnx + x^x\, \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$

hab mich auch an der c) versucht und rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x²}(1-ln x) \end{eqnarray*}$

kannst du mir noch nen tip zu der d geben, muss/kann man da auch noch was umschreiben oder muss man das ganze als verkettung von drei funktionen sehen??

lg lilithilli smile

08.06.2011, 17:20

Realberechner

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Es is eig. ganz einfach Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} ln(1+x)' = \dfrac{1}{1+x} \dfrac{d}{dz}(ln(z)) = \dfrac{1}{z} \end{eqnarray*}$

09.06.2011, 15:19

lilithilli1210

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Stimmen die bisherigen Ergebnisse??

habe jetzt noch ein ergebnis zur e)
$\begin{eqnarray*} x^{sin x} (cosx\, lnx + sinx \cdot \frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$
kann ich das noch irgendwie vereinfachen/kürzen?

zur g) habe ich die Quotientenregel benutzt:
$\begin{eqnarray*} (\frac{f(x)}{g(x)})^{\prime} = \frac{g^\prime h \ - gf^\prime}{h²} \end{eqnarray*}$
und habe dann erhalten:
$\begin{eqnarray*} \frac{-sinx(2+sin\, ln x) - cosx(cos\, lnx \cdot \frac{1}{x})}{(2+sin\, lnx)^2} \end{eqnarray*}$
stimmt das so, und kann ich das noch weiter vereinfachen/kürzen?

bei der d) habe ich das problem, dass ich ja hier eine verketteung von drei Funktionen haben nämlich f°g°h mit h(x)=(1+x), g(x)=f(x)=ln x.

Gibt es da auch eine Kettenformel?

und bei der f) bräuchte ich noch Hilfe, wie ich sin³ und tan² ableite...?!=)

lg lilithilli smile

09.06.2011, 16:11

tigerbine

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Information
Für die Zukunft: Eine Aufgabe pro Thread und keine Aufgabensammlung. Danke.

09.06.2011, 16:49

xenorange6

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RE: Information
Was noch nützlich sein kann, ist folgende Differentiationsregel:
$\begin{eqnarray*} z(x)=f(x)^{g(x)} \\ \Rightarrow ln(z) = ln(f^g) = g*ln(f) \\ \Rightarrow {d \over dx} ln(z) = {d \over dx} (g*ln(f))\\ \Rightarrow {z' \over z} = g'*ln(f)+g*{f' \over f}\\ \Rightarrow z'= z*g'*ln(f)+z*g*{f' \over f}\\ = f^g*g'*ln(f)+f^g*g*{f' \over f}\\ \end{eqnarray*}$
Somit kann man sich merken:
$\begin{eqnarray*} {d \over dx}f(x)^{g(x)} = f^g*g'*ln(f)+f^{g-1}*g*f' \end{eqnarray*}$
(falls linker Ausdruck existiert)

Für Spezialfälle folgen
$\begin{eqnarray*} f(x)=x\wedge g(x)=r \in\mathbb R\\ \Rightarrow z'(x)={d \over dx} x^r = x^r*0*ln(x)+x^{r-1}*r*1 = r*x^{r-1} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(x)=a \in \mathbb R \wedge g(x)=x\\ \Rightarrow z'(x) = {d \over dx} a^x = a^x*1*ln(a)+a^{x-1}*x*0 = ln(a)*a^x \end{eqnarray*}$
die bekannten Regeln.

Für die g) gilt:
$\begin{eqnarray*} sin^3({1\over x} = sin({1 \over x})^3 \end{eqnarray*}$
benutze hier die Kettenregel.

Die Kettenregel ganz du einfach doppelt anwenden, wenn du zweimal verkettete Funktion hast, oder dir überlegen, das gilt:
$\begin{eqnarray*} {d \over dx} f(g(h(x)) = {d \over dg}f * {d \over dx}g = {d \over dg}f * {d \over dh}g * {d \over dx}h = f'*g'*h' \end{eqnarray*}$
Oder einfach $\begin{eqnarray*} {df \over dx} = {df \over dg}{dg \over dh}{dh \over dx}=f'*g'*h' \end{eqnarray*}$

Zum Kontrollieren empfehle ich dir wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+x^sin%28x%29

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