Markov Kette, beweis dieser gleichung`

08.06.2011, 16:41

tikvica

Markov Kette, beweis dieser gleichung`

Meine Frage:
es ist diese gleichung, für alle zustände i aus I im Zeitpunkt t zu beweisen.. wobei Xt eine allgemeine markov kette ist

$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} = i) = \sum\limits_{i \in I} P(X_t =j)P(X_{t+1} = i | X_t = j) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ja also leider hab ich gar keine idee.. wie genua soll ich denn die bedingte w.keit hier verwenden..die formeln dafür hilfen mir hier nicht weiter :S

08.06.2011, 16:49

Mazze

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Naja, erinnere dich mal an die Marginalverteilung von $\begin{eqnarray*} X_{t+1} \end{eqnarray*}$ (auch Randverteilung). Dann stehts nämlich schon (fast) da Augenzwinkern

08.06.2011, 16:52

Math1986

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RE: Markov Kette, beweis dieser gleichung`

Zitat:

Original von tikvica
Meine Frage:
es ist diese gleichung, für alle zustände i aus I im Zeitpunkt t zu beweisen.. wobei Xt eine allgemeine markov kette ist

$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} = i) = \sum\limits_{i \in I} P(X_t =j)P(X_{t+1} = i | X_t = j) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ja also leider hab ich gar keine idee.. wie genua soll ich denn die bedingte w.keit hier verwenden..die formeln dafür hilfen mir hier nicht weiter :S

Du meinst bei der Formel als Laufindex sicher $\begin{eqnarray*} j\in I \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$

Im Prinzip folgt das aus der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit, der Beweis ist analog.

08.06.2011, 17:10

tikvica

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RE: Markov Kette, beweis dieser gleichung`
$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} = i) = P(X_{t+1} = i \cap I) = P(X_{t+1}=i \cap (\cup X_t=j)) = P(\cup (X_{t+1} = i \cap X_t = j)) \end{eqnarray*}$ und dann als summe schreiben und formel einsetzen...so??

aber wieso darf ich mein zustandsraum I gliech der vereinigung aller Xt schreiben?

08.06.2011, 17:19

Math1986

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RE: Markov Kette, beweis dieser gleichung`

Zitat:

Original von tikvica
$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} = i) = P(X_{t+1} = i \cap I) = P(X_{t+1}=i \cap (\cup X_t=j)) = P(\cup (X_{t+1} = i \cap X_t = j)) \end{eqnarray*}$ und dann als summe schreiben und formel einsetzen...so??

aber wieso darf ich mein zustandsraum I gliech der vereinigung aller Xt schreiben?

Nei, so nicht ganz:

Definieren wir erstmal der Übersichtlichkeit halber:
$\begin{eqnarray*} A:=\{X_{t+1} = i\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_j:=\{X_t = j\} \end{eqnarray*}$
Die $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ bilden eine disjunkte Zerlegung.

Nun kannst du die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit anwenden:
$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{j\in I} P\left(B_j\right)\cdot P\left(A\mid B_j\right) \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 17:26

tikvica

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RE: Markov Kette, beweis dieser gleichung`
aha.. Ja so ist die aufgabe ja schon fertig smile

.. nur noch einsetzen...

nur noch ne verständnisfrage.. wenn ich jetzt in einer aufgabe :
$\begin{eqnarray*} P(X_{t+1} = i_{t+1} \cap (X_0 = i_0, ..., X_t = i_t)) \end{eqnarray*}$

wie soll ich dann diesen schnitt verstehen, bzw. weiterrechnen? die Formel
$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(B) P(A|B) \end{eqnarray*}$ will ich nicht benutzen, da ich von dieser form auf die mit dem schnitt gekommmen bin smile

08.06.2011, 17:36

Math1986

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RE: Markov Kette, beweis dieser gleichung`

Zitat:

Original von tikvica
aha.. Ja so ist die aufgabe ja schon fertig smile

Das ist dann einfach
$\begin{eqnarray*} P((X_0 = i_0, ..., X_t = i_t,X_{t+1} = i_{t+1} )) \end{eqnarray*}$
also ein Pfad.

09.06.2011, 11:59

tikvica

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aha...super danke ..hat alles geklappt smile

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