Berechnen der Kontrollpunkte beim kubisches Bézier Spline

13.12.2006, 08:25

fahim

Berechnen der Kontrollpunkte beim kubisches Bézier Spline

Hallo Leute,
mittlerweile bin ich mir im klaren, dass man 4 Kontrollpunkte benötigt um ein BSpline darzustellen. Den Spline kann man dann durch das Bernsteinpolynom ausrechnen.

Unsere Aufgabe ist es, alle Kontrollpunkte eines kubischen Bezier Splines auszurechnen. Zunächst dachte ich, dass diese doch gegeben sein müssen, jedoch wurde ich dann darauf aufmerksam gemacht, dass die Kontrollpunkte ausgerechnet werden müssen, wenn 2 Bezier Kurven aneinandergehängt werden, da die Kurve in jedem Punkt zweimal stetig sein muss.
Wie berechnet man dann die Kontrollpunkte, wenn man nur die Punkte P0, P3 und P6 hat. Die Kurve muss also durch die Punkte P0, P3 und P6 gehen, soll aber überall zweimal stetig differenzierbar sein.

Ich bedanke mich im Voraus

13.12.2006, 17:55

yeti777

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RE: Berechnen der Kontrollpunkte beim kubisches Bézier Spline
Hallo!

Du solltest eine Skizze machen, woraus man ersieht, wo welche Punkte und wo die Béziersegmente sind. Wie sieht dein Ansatz mit den Bernstein-Polynomen aus?

Gruss yeti

13.12.2006, 21:55

fahim

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Hier nochmal zum Verständnis ein Bild:

http://img259.imageshack.us/img259/9691/skizzexn5.th.jpg

Wir haben also 3 gegebene Punkte, welche aus 2 kubischen Splines besteht bei denen wir somit nur Anfangs- und Endpunkt haben.
Also 1. Spline von b0 nach b3
2. Spline von b3 nach b6.

Da die Kurven an jedem Punkt 2 mal stetig differenzierbar sein soll, muss man die Kontrollpunkte berechnen (also b1, b2; b4, b5; b7, b8).
Von Komilitonen habe ich nun folgendes erfahren:
Folgende Regeln gelten für die doppelte Stetigkeit an ihren Kontrollpunkten:

aktueller Punkt=b0
2*b0 = b8 + b1
und b7 - 2*b8 = b2 - 2*b1

aktueller Punkt=b3
2*b3 = b2 + b4
und b1 - 2*b2 = b5 - 2b4

aktueller Punkt=b6
2*b6 = b5 + b7
und b4 - 2*b5 = b8 - 2*b7

Das heisst wir haben insgesamt 6 Gleichungen und 6 Unbekannte. Auch habe ich erfahren, dass wir das Gaußverfahren zur Lösung der Unbekannten verwenden können. Soweit ich das Verfahren aber verstanden habe, sehen die Gleichungen immer gleich aus und haben immer keine Unbekannte als Ergebnis. Weiss daher nicht wie ich die Gleichungen umstellen soll um das Gaußverfahren anwenden zu können?!

14.12.2006, 15:14

yeti777

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Hallo fahim!

Leider werde ich aus deinen Angaben immer noch nicht schlau verwirrt

. Es wäre sicher Allen dienlich, wenn du die vollständige Aufgabenstellung posten würdest. Gegeben: ??? Gesucht: ???

Wie kommst du auf deine "Regeln", dh. wie lautet die mathematische Herleitung?

Für einen kubischen Spline, egal welcher Sorte, brauchst du 4 Bestimmungsstücke, zB. 4 Punkte oder 2 Punkte und die dazugehörigen Ableitungen. Bis jetzt haben wir aber nur 3 Punkte. Ich folgere daraus, dass in der Aufgabenstellung noch weitere Hinweise vorhanden sind, die es erlauben, den Spline eindeutig zu definieren.

Gruss yeti

14.12.2006, 17:14

fahim

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Hi,
Aufgabenstellung ist kubische Bezier Splines grafisch darzustellen, die an allen ihren Kontrollpunkten zweimal stetig differenzierbar ist.
Die Punkte b0 bis b3 bilden dabei eine Spline (b1 und b2 muss man ausrechnen anhand der oben genannten Formel) und b3 bis b6 bilden eine zweite Bezier Spline, deren Kontrollpunkte (b4 und b5) man auch ausrechnen muss.
Hoffe du hast es nun verstanden? smile

14.12.2006, 23:23

yeti777

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Hallo fahim!

Zitat:

Original von fahim
Wir haben also 3 gegebene Punkte, welche aus 2 kubischen Splines besteht bei denen wir somit nur Anfangs- und Endpunkt haben.
Also 1. Spline von b0 nach b3
2. Spline von b3 nach b6.

Ich habe Mühe, mich in der Aufgabenstellung zurecht zu finden. Was ich glaube, begriffen zu haben, ist Folgendes:

Gegeben die 3 Punkte $\begin{eqnarray*} \vec{b_0} ,\,\vec{b_3}, \,\vec{b_6} \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene. Diese 3 Punkte sollen durch eine $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ -stetige Bézier-Splinekurve (Kurve, nicht Funktion!), bestehend aus 2 aneinander gehefteten Bézierkurven 3. Grades, interpoliert werden. Die erste Bézierkurve verläuft in der komplexen Hülle der Bézierpunkte $\begin{eqnarray*} \vec{b_0} ,\,\vec{b_1}, \,\vec{b_2}, \,\vec{b_3} \end{eqnarray*}$ , die zweite in der komplexen Hülle von $\begin{eqnarray*} \vec{b_3} ,\,\vec{b_4}, \,\vec{b_5}, \,\vec{b_6} \end{eqnarray*}$ . Im Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{b_3} \end{eqnarray*}$ müssen die 2 Bézierkurven $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ -stetig zusammengeheftet werden.

Ansatz: $\begin{eqnarray*} x(t)= \sum_{k=0}^3~b_xB_k^3(t),\, y(t)= \sum_{k=0}^3~b_yB_k^3(t) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} B_k^3(t)= {n \choose k}t^k(1-t)^{3-k},\,t\in [0,1] \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Bernstein-Polynom vom 3. Grad darstellt. Gesucht sind die Bézierpunkte $\begin{eqnarray*} \vec{b_1} ,\,\vec{b_2} \end{eqnarray*}$ , resp. $\begin{eqnarray*} \vec{b_4} ,\,\vec{b_5} \end{eqnarray*}$ . Um diese zu bestimmen, braucht es zusätzliche Information. In deinem Post erwähnst du $\begin{eqnarray*} \vec{b_7} ,\,\vec{b_8} \end{eqnarray*}$ , aber ich kann damit vorerst nichts anfangen verwirrt

.

Ausserordentlich hilfreich wäre eine Skizze. Wie sind die Werte der 3 gegebenen Punkte? Sind meine bisherigen Annahmen korrekt?

Die von dir angeführten Berechnungsregeln, die von deinen Studienkollegen stammen, kann ich nicht interpretieren. Wie lautet die Herleitung dieser Regeln?

Gruss yeti

10.09.2010, 12:16

s4u

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Bezierkurve
Hi yeti,

Du hast Dich offensichtlich schon extensiv mit Bezierkurven befasst, deshalb ist meine Hoffnung groß, dass Du mir weiterhelfen kannst. Ich habe folgendes Problem (passt hoffentlich inhaltlich zu diesen Thread):

Ich habe außer Anfangs- (t=0) und Endpunkt (t=1) auf einer kubischen Bezierkurve noch 4 Zwischenpunkte (t=?) auf der Kurve.
Ich suche die xy-Koordinaten der beiden Kontrollpunkte P1 und P2.

M.E. habe ich 8 lin. unabhängige Gleichungen (jeweils eine für die x- und y-Koordinaten der 4 Kurvenpunkte) mit 8 Unbekannten (t1...4 und die 4 Koordinaten der beiden Kontrollpunkte)

Gibt es eine analytische Lösung für die Koordinaten der Kontrollpunkte?

s4u

10.09.2010, 16:42

tigerbine

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Datum beachten

Zitat:

Original von s4u
Hi yeti,

Du hast Dich offensichtlich schon extensiv mit Bezierkurven befasst, deshalb ist meine Hoffnung groß, dass Du mir weiterhelfen kannst

letzte Aktivität von yeti: 27.03.2008 23:01

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