Kugelvolumen über Polarkoordinaten - Seite 2

08.06.2011, 20:47

Rafael

ja. ich muss $\begin{eqnarray*} \dd (s,\varphi) \end{eqnarray*}$ in ein Doppelintegral $\begin{eqnarray*} \dd s~\dd \varphi \end{eqnarray*}$ umwandeln. ok ich schreibe ein doppelintegral hin und dahinter $\begin{eqnarray*} \dd s~\dd \varphi \end{eqnarray*}$
... dann... weiß ich net weiter... unglücklich

08.06.2011, 20:48

Leopold

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Der Integrand stimmt noch nicht. Erst der. Vorher machen wir hier nicht weiter.

08.06.2011, 20:50

Rafael

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Zitat:

Original von Leopold
Der Integrand stimmt noch nicht. Erst der. Vorher machen wir hier nicht weiter.

mensch du bist ja einer. $\begin{eqnarray*} V = 2 \int_D \sqrt{r^2 - s^2}~\dd (s,\varphi) \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 20:51

Leopold

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Stimmt immer noch nicht ganz. Beachte den Link in meinem vorletzten Beitrag. Und $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist immer noch falsch.

08.06.2011, 20:53

Rafael

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$\begin{eqnarray*} V = 2 \int _Q \sqrt{r^2 - s^2}~\dd (s,\varphi) \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 20:56

Leopold

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Jetzt muß ich es halt doch selber sagen, denn das ist immer noch falsch. Du mußt bei Polarkoordinaten auch

$\begin{eqnarray*} \dd (x,y) = s~\dd (s,\varphi) \end{eqnarray*}$

ersetzen.

08.06.2011, 21:42

Rafael

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ich kann mit deiner gleichung iwie nix anfangen! muss ich das einfach noch mal s nehmen oder wie?

08.06.2011, 21:51

Leopold

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Ganz formal:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2 - \left( x^2 + y^2 \right)}~\dd (x,y) = s \sqrt{r^2 - s^2}~\dd (s,\varphi) \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 21:53

Rafael

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einfach mal nehmen?... ok. und wie integriere ich jetzt diesen ganzen schmorn?

08.06.2011, 21:59

Leopold

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Der Rest ist jetzt einfach: Aus dem Bereichsintegral wird ein Doppelintegral:

$\begin{eqnarray*} V = 2 \int_Q s \sqrt{r^2 - s^2}~\dd (s,\varphi) \qquad = \qquad 2 \ \cdot \int \limits_{\varphi \text{-Intervall}} \left( \ \int \limits_{s \text{-Intervall}} s \sqrt{r^2 - s^2} ~ \dd s \right) ~ \dd \varphi \end{eqnarray*}$

Die Intervalle zu bestimmen, kann im allgemeinen recht schwer sein. Hier haben wir aber die komfortable Situation, daß die Bedingungen für $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ unabhängig voneinander sind. Die eine enthält nur $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , die andere nur $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Wie lautet also jetzt das Doppelintegral?

Beginne in einer Nebenrechnung mit dem inneren Integral. Es ist ein gewöhnliches Integral einer reellen Variablen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ . Es fällt ja sofort auf, daß der Faktor $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ im wesentlichen die Ableitung der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} r^2 - s^2 \end{eqnarray*}$ ist. Damit kann man eine Stammfunktion unmittelbar "erraten".

08.06.2011, 22:11

Rafael

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ist es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sr²-s} * \frac{1}{3} * (s²(r²-s²))^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ ?

08.06.2011, 22:11

Rafael

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Zitat:

Original von Rafael
ist es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{sr²-s} * \frac{1}{3} * (s²(r²-s²))^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ ?

also die innere ableitung dann. vom integral über s

08.06.2011, 22:26

Leopold

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Leite das Ding ab, da kommt alles heraus, nur nicht das Gewünschte (Produktregel/Quotientenregel/Kettenregel). Es ist viel einfacher:

$\begin{eqnarray*} F(s) = - \frac{1}{3} \cdot \left( r^2 - s^2 \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Mit der Kettenregel folgt:

$\begin{eqnarray*} F'(s) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \left( r^2 - s^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot (-2s) \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 22:29

Rafael

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ach ja.. hab da was durcheinander gebracht^^ also wenn ich dann alles richtig eingesetzt habe kommt bei mir fürs volumen $\begin{eqnarray*} V= 2*\pi *- \frac{1}{3} \cdot \left( r^2 - s^2 \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ raus.

08.06.2011, 22:39

Leopold

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Wie kann in der Volumenformel für eine Kugel eine Variable $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ vorkommen? Das ist denkunmöglich! Im übrigen widerspricht das auch der Formel, die man in jeder Formelsammlung findet. Du mußt die Grenzen in die Stammfunktion einsetzen.

Mit dem $\begin{eqnarray*} F(s) \end{eqnarray*}$ vom vorigen Beitrag folgt

$\begin{eqnarray*} V = 2 \int_Q s \sqrt{r^2 - s^2}~\dd (s,\varphi) \ = \ 2 \ \cdot \int \limits_0^{2 \pi} \left( \ \int \limits_0^r s \sqrt{r^2 - s^2} ~ \dd s \right) ~ \dd \varphi \ = \ 2 \cdot \int \limits_0^{2 \pi} \left( F(r) - F(0) \right)~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 22:41

Rafael

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ach hab das eine integral übersehen^^ my bad

08.06.2011, 22:45

Rafael

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jetzt hab ichs: $\begin{eqnarray*} V=4\pi *\frac{1}{3} * (r²)^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$ bitte sag dass das jetzt richtig ist!

08.06.2011, 22:48

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left( r^2 \right)^{\frac{3}{2}} = \text{???} \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 22:49

Rafael

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} \left( r^2 \right)^{\frac{3}{2}} = \text{???} \end{eqnarray*}$

eigentlich müsste das hoch 3/2 nicht da sein...

08.06.2011, 22:54

Leopold

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das vorletzte Gesetz

08.06.2011, 22:57

Rafael

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ups^^ xDDDD eyh. wasn los heut mit mir. sehe die einfachsten dinge nicht. sry. muss aber sagen, dass ich grade im stress bin mit studium und ich mit so polarkoordinaten noch nie gerechnet habe und doppelintegrale und dies und das.

aber vielen dank für die hilfe! jetzt versteh ichs wenigstens.

08.06.2011, 23:02

Leopold

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Zitat:

Original von Rafael
aber vielen dank für die hilfe! jetzt versteh ichs wenigstens.

Vielleicht verstehst du jetzt die einzelnen Schritte. Aber du solltest ehrlich zu dir sein: Eine ähnliche Aufgabe brächtest du im Moment wahrscheinlich nicht erfolgreich zu Ende. Immerhin - der Anfang ist gemacht ...

08.06.2011, 23:03

Rafael

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nun ich habe ja auch noch nie sowas gerechnet. natürlich hab ich da meine schwierigkeiten.

31.08.2011, 13:02

Ytterbium

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Die Aufgabe lautet zwar, das Volumen mit Kugelkoordinaten zu bestimmen, aber wäre es nicht einfacher, kartesische Koordinaten zu benutzen?
Dann das Volumen wie bei einem Rotationskörper berechen mit den Grenzen -r und r.

31.08.2011, 13:09

tmo

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@Ytterbium: Du muss nicht jetzt nicht jeden Thread über das Kugelvolumen ausgraben und dort deine Methode vorstellen, so wie du es hier schon gemacht hast. Augenzwinkern

In diesem Thread war das schon grenzwertig, weil es fragwürdig war, ob das dem Threadersteller (der sich noch gar nicht wieder geäußert hat) wirklich weiterhilft. Aber der Thread war immerhin noch aktuell und da ist es in der Tat nichts Verwerfliches eine Alternative anzubieten. War also ok.

Aber solch alte Threads wie diesen hier solltest du nur ausgraben, wenn du wirklich noch eine konkrete Frage zu dem hast, was in diesem Thread behandelt wurde.

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