Kugelvolumen über Polarkoordinaten

Neue Frage »

Rafael Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelvolumen über Polarkoordinaten
Hallo.

hab ne frage wie man ein kugelvolumen mit polarkoordinaten berechnen kann und zwar mit folgendem integral:

komme da iwie net weiter.

mfg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Punkt liegt genau dann auf einer Kugel vom Radius um den Ursprung, wenn



gilt. Das positive Vorzeichen liefert dir die obere Halbkugel als Graph, das negative die untere Halbkugel. Also hast du



zu berechnen. Der Faktor 2 verdoppelt das Halbkugelvolumen. Den Bereich der zulässigen Punkte kannst du am Radikanden ablesen.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok! jetzt versteh ichs. nur das it dem d(x ,y) kommt mir noch nicht so ganz. wo kann ich die punkte ablesen? bei so einem integral muss man ja y durch x ausdrücken oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das in ein Doppelintegral umwandelst, wird aus ein . Aber das wolltest du ja gar nicht. Du wolltest doch Polarkoordinaten einführen, nicht wahr?

Um zu bestimmen, schaue dir den Radikanden der Wurzel an. Ein solcher darf bekanntlich nicht negativ sein. Was folgt daraus über und ? Wieso paßt das Ergebnis wunderbar mit der Anschauung zusammen?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

also x²+y² dürfen also nicht größer als r² sein. aber was soll ich dann für die grenzen einsetzen? und iwie stört mich die wurzel. soll ich hier substituieren?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Halten wir also fest:



Was stellt denn dar?
 
 
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

D ist doch das Gebiet über das ich integrieren muss oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber was für ein geometrisches Gebilde bestimmen die Punkte von ?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das sind doch alle Punkte auf dem Radius oder? oder stehe ich jetzt ganz auf der leitung? geschockt
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht , sondern !
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

dann sind das alle punkte auf der kreisfläche der x,y-ebene.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und das paßt ja wunderschön mit der Anschauung zusammen. So wie man bei Funktionen einer Variablen durch Integration die (orientierte) Fläche zwischen der -Achse und dem Graphen der Funktion (das ist eine Kurve) bestimmt, so bestimmt man bei Funktionen zweier Variablen durch Integration das (orientierte) Volumen zwischen der -Ebene und dem Graphen der Funktion (hier eine gekrümmte Fläche).

Genau über dem Kreis wölbt sich die Halbkugel als Graph der Funktion



Und durch Integration von über erhältst du das Halbkugelvolumen.

Jetzt zur Berechnung: Du wolltest doch Polarkoordinaten einführen ...
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

ok also die kugel wird beschrieben durch also einfach die einsetzen oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hier hat aber eine ganz andere Bedeutung als unser bisheriges . Jetzt bleib bei der Sache, wir sind schon viel weiter. Mittendrin im Lösungsweg den Ansatz zu wechseln, führt nur ins Chaos.

Führe in der -Ebene Polarkoordinaten ein.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

hm. also hab grad nachgeschaut. ein volumenelement dV einer kugel ist gegeben durch:

hm...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Es geht um Polarkoordinaten in der Ebene! Wir sind längst in der Ebene! f(x,y)! Zwei Variablen! Was willst du hier mit dreien?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

sry da bin ich leider überfragt. bin erstsemestler iner uni und ist ziemlich hard grade
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie du eine Funktion integrierst und damit einen Flächeninhalt bestimmst, so integrierst du hier eine Funktion und bekommst einen Rauminhalt.

Wie lauten denn die Formeln für Polarkoordinaten?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich verwechsle da was. sind polarkoordinaten nicht: ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und dann noch für .
Warnung! Der Bezeicher ist bei uns schon vergeben. Er dienst als Parameter zur Angabe des Kugelradius. Nimm also einen anderen Bezeichner. Vorschlag: den nächsten Buchstaben .
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

aber r ist doch hier der kugelradius oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Bei Polarkoordinaten ist (du darfst hier das sonst übliche nicht nehmen, weil wir das bereits vergeben haben) eine Variable, also

Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok. also was kommt dann raus wenn ich alles einsetze?
das hier?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Viertelrichtig.

1. Wenn du von den Variablen zu den Variablen wechselst, mußt du auch bei zu wechseln. Wie das geht, findest du sicher bei deinen Formeln zu den Polarkoordinaten.

2. Ebenso mußt du den Bereich der -Variablen in den Bereich, sagen wir , der -Variablen transformieren.

Und kann noch extrem vereinfacht werden.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja bekanntlich 1. somit bleibt nur r²-1 unter der wurzel stehen. und ja wird geändert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rafael
ist ja bekanntlich 1.


unglücklich

Und 1. und 2. hast du einfach ignoriert. geschockt
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

öh... ok. also fi läuft ja von 0 bis 2pi. ... puh. und wie schauts mit der variablen s aus verwirrt ?
wie wechsle ich von zu ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Polarkoordinaten mit unseren Bezeichnungen gilt:



Welche Bedeutung haben denn und bei Polarkoordinaten? Wenn du das verstanden hast, weißt du auch, über welche und zu integrieren ist.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

läuft ja nur im kreis. ist ja der winkel in der x,y ebene. und s ist ein parameter der die größe der kugel angibt oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hast du nicht richtig interpretiert.

Nimm irgendeinen Punkt der -Ebene. Zeichne den Strahl von durch hindurch. Der Strahl ist in einem Winkel zur positiv gerichteten -Achse geneigt (Drehung von der -Achse aus gegen den Uhrzeigersinn). Desweiteren ist der Abstand von zum Ursprung, nach Pythagoras also



Bisher war ein beliebiger Punkt. Von jetzt ab soll , also ein Punkt der Kreisscheibe sein. In welchem Bereich variiert also und in welchem ?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

geht von 0 bis 2Pi und s is ja constant. also ist es doch der raidus r?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist nicht konstant. Noch einmal: ist eine Variable, die den Abstand eines Punktes zum Ursprung angibt. Welche Werte durchläuft , wenn ein Punkt der Kreisfläche ist?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

achso. ja dann durchläuft s 0 bis 2*pi*r
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist der Abstand eines Punktes in zum Ursprung.

Nehmen wir einmal an, unser Kreis hätte den Radius . Jetzt nenne ich dir einmal Abstände von Punkten zum Ursprung:



Welche der Punkte liegen jetzt in ?
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

achso meinste des. also geht s von 0 bis zum radius?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine schwere Geburt. Ja, . Das ist der Bereich für . Der Bereich der ist also



Damit gilt:



Jetzt brauchst du noch den richtigen Integranden und mußt das Bereichsintegral in ein Doppelintegral umwandeln.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

hm iwie macht mir die wurzel zu schaffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wie heißt denn jetzt der Integrand ? Alles andere kommt später.
Rafael Auf diesen Beitrag antworten »

ok also wenn ich mich net verrechnet habe (und wie du siehst passiert mir das nicht oft Big Laugh )
müsste
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Unter der Wurzel muß es heißen. Und dann hast du wieder nicht daran gedacht. Und ist auch falsch. Jetzt haben wir .
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »