C^0 dicht im Raum der Regelfunktionen

08.06.2011, 17:07

b_o_g

C^0 dicht im Raum der Regelfunktionen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R}, a \textless b \end{eqnarray*}$ . Ich soll nun beweisen, dass $\begin{eqnarray*} C^{0}([a,b],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} R([a,b],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ bezüglich der L^2-Norm dicht liegt, indem ich eine Treppenfunktion mit einem Polygonzug annähere.

Meine Ideen:
Ich hab mich mal umgehört und der Beweis soll extrem schwer sein (meine Quelle ist sehr zuverlässig). Angeblich sei er in "einschlägiger Literatur" zu finden, deshalb wollte ich mich erkundigen, ob jemand weiß, ob dieser Beweis einen besonderen Namen hat oder wo er zu finden ist, denn ich schätze, für die Diskussion in diesem Thread ist das Ding zu kompliziert.

09.06.2011, 09:44

gonnabphd

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Deine Quelle liegt falsch... Die Aufgabe ist bloss eine Übung in einer Standard-Konstruktion (und es lohnt sich sehr, diese selbst durchzuführen, da man dieses Handwerk als Mathematiker unbedingt beherrschen sollte...)

Mal dir am besten Mal eine Treppenfunktion (bzw. deren Graphen) auf und überleg, wie du diese am besten durch einen Polygonzug annähern könntest, wobei eine gute Annäherung in dem Sinne gemeint ist, dass die Fläche zwischen dem Polygonzug und der Treppenfunktion möglichst klein bleibt.

Übrigens: Nur weil ein Resultat in fast allen Lehrbüchern steht, heisst das nicht, dass es schwer zu beweisen ist. (sonst wären die Bücher um einiges dünner)

09.06.2011, 10:43

b_o_g

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Sorry, mein Fehler. Aber unser Übungsgruppenleiter hat im Normalfall immer recht, daher habe ich nicht damit gerechnet, es mit einem einfachen Ansatz hinzukriegen. In diesem Fall würde ich eine Treppenfunktion f mit Stützpunkten (o.B.d.A.) $\begin{eqnarray*} a, x_{1} , x_{2} ... b \end{eqnarray*}$ im geschlossenen Intervall von a bis b nehmen. Meinen Polygonzug definiere ich so:

$\begin{eqnarray*} P_{n}(x) = f(x) , x \in [a + \frac{1}{n} , x_{1} - \frac{1}{n}] ....[x_{i} + \frac{1}{n} , b - \frac{1}{n}] \\ (\lambda (x_{1} - \frac{1}{n}) + (1- \lambda)(x_{1} + \frac{1}{n})), 0 \le \lambda \le 1 , x \in [x_{1} - \frac{1}{n} , x_{1} + \frac{1}{n}] \end{eqnarray*}$

Für die anderen Verbindungsgeraden entsprechend. Wenn ich das von f abziehe, bleiben nur Werte in Intervallen übrig, deren Grenzen gegen null streben. Also ist $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty} ||f(x) - P_{n}(x)||_{L^{2}[(a,b)]} = 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty} \int_{k - \frac{1}{n}}^{k + \frac{1}{n}} x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich kann keinen Fehler entdecken, aber mir erschien diese Lösung wie gesagt als viel zu simpel, um stimmen zu können.

09.06.2011, 11:53

gonnabphd

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Also, dein Vorschlag ist

$\begin{eqnarray*} P_{n}(x) = \begin{cases} f(x) & x \in [a , x_{1} - \frac{1}{n}] \cup \dots \cup [x_{i} + \frac{1}{n} , b] \\ \lambda (x_{i} - \frac{1}{n}) + (1- \lambda)(x_{i} + \frac{1}{n}) & 0 \le \lambda \le 1 , \; x \in [x_{i} - \frac{1}{n} , x_{i} + \frac{1}{n}]\end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich denke, du meinst genau das richtige; nämlich einen Polygonzug welcher auf dem grössten Teil jedes Teilintervalls = f ist und auf dem restlichen Teil die Treppen verbindet.

Allerdings hast du das noch nicht ganz richtig aufgeschrieben. Was ist z.B. das lambda? Und in der gleichen Zeile meinst du bestimmt $\begin{eqnarray*} f\left(x_i-\frac1n\right) \end{eqnarray*}$ , oder?

Tipp ersetze einfach dein lambda durch eine (möglichst einfache/lineare) Funktion $\begin{eqnarray*} \lambda_i: \left[x_i - \frac1n, x_i + \frac1n\right]\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , welche $\begin{eqnarray*} \lambda_i\left(x_i -\frac1n\right) = 0, \; \lambda_i\left(x_i+\frac1n\right)= 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Zitat:

Ich kann keinen Fehler entdecken, aber mir erschien diese Lösung wie gesagt als viel zu simpel, um stimmen zu können.

Nein, nein, du hast schon recht: So schwer ist das tatsächlich nicht.

10.06.2011, 11:22

b_o_g

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Danke für die Hilfe, ich hab die Aufgabe jetzt verstanden. Dass ich keinen Array gemacht habe, lag übrigens daran, dass der Editor irgendein Problem mit meinem Code hatte. Also hab ich "umdisponiert".

Falls es dich interresiert: In deiner Signatur sind Rechtschreibfehler, Physicists schreibt man mit h und in der ersten Zeile ist das approximate falsch geschrieben. Ich hab da so ne Art Putzfimmel, was Texte angeht Augenzwinkern

10.06.2011, 11:28

gonnabphd

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Oh, dankE für di e Corektuhr Augenzwinkern

Wahr gestärn dann wohl dohc noch ewtas sätp... smile

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