Eigenvektoren

08.06.2011, 19:57

mathe15

Eigenvektoren

Meine Frage:
Hallo,
kann es eigentlich zu einem Eigenvektor keinen Eigenwert geben? Ich habe nämlich eine orthogonale Matrix, bei dem ich als Eigenvektor immer einen Nullvektor raus bekomme. Aber das ist ja wider der Definition eines Eigenvektors. Die Matrix ist $\begin{eqnarray*} Q=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Eigenwerte sind 1 und -1. Der Eigenvektor zu 1 ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Vielfachen davon. Bei -1 bekomme ich wie gesagt immer einen Nullvektor raus.
Ich hab das Ganze mit dem Gaus berechnet und habe zum Schluss folgendes stehen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & -4 & 0 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann der Nullvektor.

08.06.2011, 20:50

tigerbine

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RE: Eigenvektoren
Nein, das kann ja per Definition schon nicht sein.

code:

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A:=matrix(3,3,[1/3,-2/3,-2/3,-2/3,1/3,-2/3,-2/3,-2/3,1]);
                          [1/3     -2/3    -2/3]
                          [                    ]
                     A := [-2/3    1/3     -2/3]
                          [                    ]
                          [-2/3    -2/3     1  ]

> R0 := linalg[eigenvects](A);

  R0 := [1/3 + 2/3 sqrt(3), 1,

        {[1/2 - 1/2 sqrt(3), 1/2 - 1/2 sqrt(3), 1]}], [

        1/3 - 2/3 sqrt(3), 1,

        {[1/2 + 1/2 sqrt(3), 1/2 + 1/2 sqrt(3), 1]}],

        [1, 1, {[-1, 1, 0]}]

>

08.06.2011, 21:24

mathe15

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setzt man das aber in die Gleichung Av=lv ein kommt der Gleiche Vektor wieder raus. Also wäre das ja eher ein Vektor für 1. (wobei ich mich glaub ich verrechnet habe).
Oder gibt es für orthogonale Matrizen irgendwelche sonderfälle?

08.06.2011, 21:25

tigerbine

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Verstehe nicht was du mir sagen willst. Ich habe dir EV und EW hingeschrieben. Wenn du auf andere kommst, auch mal über Rechenfehler nachdenken.

08.06.2011, 21:30

mathe15

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Sorry, kann natürlich sein, dass ich Rechenfehler mache. Ich steig nur durch die Schreibweise noch nicht ganz durch. Braucht man da irgendein Programm um das richtig anzu zeigen?

08.06.2011, 21:34

tigerbine

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