Linienintegral in ebenem Kraftfeld

08.06.2011, 20:13

pbk01

Linienintegral in ebenem Kraftfeld

Meine Frage:
Ich komme bei folgender Klausuraufgabe nicht weiter und habe nur die Lösung, aber nicht den Lösungsweg gegeben.

Die Aufgabe lautet:
Ein Massenpunkt bewege sich entlang der Kurve
$\begin{eqnarray*} x =\sin(t) y = 1-\cos(t) 0\leq t\leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
in dem ebenen Kraftfeld
$\begin{eqnarray*} F=2xy\vec{e_1} + x²\vec{e_2} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie die Arbeit entlang der gegebenen Kurve
b) Berechnen Sie die Arbeit bei der Verschiebung eines Massenpunktes von Pa = (0;0) nach Pb = (1;1) auf einem (beliebigen) Verbindungsweg
c)Ist das Feld Konservativ

für a) und b) lauteten die Antworten: 1

Meine Ideen:
zu a)
Das vektorielle Kraftfeld mit Parametergleichungen für x und y sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{F} = \begin{pmatrix} 2*\sin(t)*(1-\cos(t)) \\ (\sin(t))^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Tangentialvektor lautet:
$\begin{eqnarray*} \vec{r'} = \begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} W = \int_C \! \vec{F} \, d\vec{r} = \int_0^\frac{\pi}{2}\! (\vec{F}*\vec{r'}) \, dt = \int_0^\frac{\pi}{2} \! [F1(x(t),y(t))*x'(t)+F2(x(t),y(t))*y'(t)] \, dt \end{eqnarray*}$

ergibt sich das Integral:
$\begin{eqnarray*} W = \int_0^\frac{\pi}{2} \! 2*\sin(t)*\cos(t)*(\cos(t)-(\cos(t))^2)+(\sin(t))^3) \, dt \end{eqnarray*}$

das kann ich jetzt noch auseinanderziehen:
$\begin{eqnarray*} W= 2*\int_0^\frac{\pi}{2} \! 2*\sin(t)*(cos(t))² \, dt + (-1)*\int_0^\frac{\pi}{2} \! 2*\sin(t)*(cos(t))² \, dt + \left[-\cos(t)+\frac{1}{3}(\cos(t)^3) \right]_{0 }^{\frac{\pi }{2}} \end{eqnarray*}$

Ich habe leider keine Idee wie ich die beiden verbleibenden Integrale lösen soll. Mit Substitution und partieller Integration bin ich nicht weitergekommen.

Da Das Feld konservativ ist und die Konstante $\begin{eqnarray*} C_y \end{eqnarray*}$ in der ersten Ableitung nach y 0 wird habe ich keine Probleme b zu lösen.

Hilft mir die Tatsache dass es ein Potential V(x;y)=x²y gibt auch bei a ?

08.06.2011, 20:28

pbk001

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die im letzten Integral stehenden 2en als Faktor gehören da nicht rein. und haben sich leider beimkopieren mitgeschleppt. ich bitte um entschuldigung.

08.06.2011, 20:30

Mulder

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RE: Linienintegral in ebenem Kraftfeld

Zitat:

Original von pbk01
ergibt sich das Integral:
$\begin{eqnarray*} W = \int_0^\frac{\pi}{2} \! 2*\sin(t)*\cos(t)*(\cos(t)-(\cos(t))^2)+(\sin(t))^3) \, dt \end{eqnarray*}$

Hmm, steckt da jetzt nicht ein cos(t) zuviel drin? Ich komme auf

$\begin{eqnarray*} W = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left ( 2 \sin(t)(\cos(t)-\cos^2(t)) + \sin^3(t) \right ) \, \dd t \end{eqnarray*}$

Und dann würde ich nutzen, dass sin³(t)=sin(t)(1-cos²(t)) ist. Dann kannst du cos(t)=z substituieren. Auseinander ziehen muss man das Integral dann auch gar nicht.

Zitat:

Original von pbk01
Hilft mir die Tatsache dass es ein Potential V(x;y)=x²y gibt auch bei a ?

Höchstens zur Ergebniskontrolle. Natürlich kann man das Potential verwenden, um die Arbeit zu berechnen, aber ich würde davon ausgehen, dass in a) danach gefragt ist, explizit das Integral zu berechnen.

08.06.2011, 20:34

pbk01

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Danke

wirklich.

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