Differenzialrechnung / 1. Ableitung

08.06.2011, 19:04

wollmaus

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Differenzialrechnung / 1. Ableitung

Meine Frage:
Könnte bitte mal jemand über diese Aufgaben schauen?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das wirklich geschnallt habe ...

Aufgabe lautet:
Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktionen.

Meine Ideen:
a)
$\begin{eqnarray*} y= 3x^{3}+ 4x^{2}+ 5x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=9x^{2}+8x+5 \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} y= \left(x^{2}-4\right)\left(3x+1\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= 2x\left(3x+1\right)+3\left(x^{2}-4\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 6x^2+2x+3x^{2}-12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 9x^2+2x-12 \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} y=\left(4x^{3}-7\right)^6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=6\left(4x^{3}-7\right) ^{5}\cdot 12x^2 \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} y=\frac{5x^3}{x^2+8} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{15x^2\left(x^2+8\right)-2x\left(5x^3\right) }{\left(x^2+8\right)^2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{15x^4+120x^2-10x^4}{\left(x^2+8\right)^2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{5x^4+120x^2}{\left(x^2+8\right)^2 } \end{eqnarray*}$

e)
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^3-1}{x^2} \end{eqnarray*}$
Tja, und da verliessen sie sie ...

08.06.2011, 19:07

tigerbine

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Fyi

Zitat:

Manchmal möchte man einfach nur seine Rechnung überprüfen. Dafür haben wir die MatheTools. Dort könnt ihr schnell und einfach ein Ergebnis erhalten.

[User-Tutorial] MatheTools

08.06.2011, 19:09

mYthos

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Bis auf die Tatsache, dass du überall den Strich bei der Ableitung vergessen hast (es heisst y') (!), dürfte alles stimmen.
Und was verhindert dich bei e) ?? Es kommt doch genau so die Bruchregel zur Anwendung!

mY+

08.06.2011, 19:10

Equester

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Ergänzung zu tigerbine:
Die Ableitung bezeichne mit y'!

08.06.2011, 19:10

Realberechner

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Hallihallo

Irgendwie hast du immer das ' bei den Ableitungen vergessen aber egal...

a) - d) ist richtig

Die e) kannste eigentlich genauso wie die d) machen.

08.06.2011, 19:20

wollmaus

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Ich habe es nicht wirklich vergessen, sondern habe es im Formeleditor nicht hinbekommen ... SORRY-habe meinen Fehler entdeckt, ich habe die Umschalttaste nicht benutzt. Hammer

Hammer

@tigerbine: Danke für den Tipp, ich werde es berücksichtigen ...

@ mY+: Damit komme ich irgendwie nicht klar ... es sei denn,

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{3x\left(x^2\right)-2x\left(x^3-1\right) }{\left(x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{3x^3-2x^4+2x}{\left(x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$

Als Lösungstipp stand im Buch, dass man den Bruch der Stammfunktion zunächst in zwei Einzelbrüche zerlegen sollte. Soweit war das noch klar, aber dann wußte ich nicht mehr weiter ...
Wenn das so allerdings auch stimmt, bleibe ich wohl eher dabei.

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08.06.2011, 19:31

diemensch

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guck dir die ableitung von u nochmal an..vielleicht auch nur en tipfehler,allerdings ist die ableitung bedeutend einfacher wenn du die umformung $\begin{eqnarray*} \frac{x^3-1}{x^2}=x-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ vornimmst

08.06.2011, 19:37

wollmaus

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Ja, muss natürlich 3x^2 heißen und damit dann wohl

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{3x^4-2x^4+2x}{\left(x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=\frac{x^4+2x}{\left(x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$

08.06.2011, 19:39

diemensch

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jep,jetzt kannst du noch kürzen

08.06.2011, 19:39

wollmaus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

... die ableitung bedeutend einfacher wenn du die umformung vornimmst ...

Genau das war wohl im Buch auch gemeint, aber damit kann ich echt nichts anfangen ... unglücklich

unglücklich

08.06.2011, 19:39

mYthos

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@wollmaus

Die 1. Ableitung ist schon in der ersten Zeile falsch. Denn dort muss statt 3x nämlich $\begin{eqnarray*} 3x^2 \end{eqnarray*}$ stehen ... . Danach wird's einfacher.

Man muss den Bruch nicht unbedingt trennen. Falls man es doch tut, muss man beim Ergebnis wieder auf den gemeinsamen Nenner bringen.

mY+

08.06.2011, 19:41

wollmaus

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Das Ergebnis wäre dann

y'=2x ???

08.06.2011, 19:42

diemensch

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einfach jeden summanden durch den nenner teilen.das geht solange dort keine summe steht Wink

Wink

08.06.2011, 19:49

wollmaus

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Na super, den Weg habe ich schon mal verstanden.

Ganz lieben Dank an alle Beteiligten. smile

smile

Den Weg mit den Einzelbrüchen schaue ich mir dann morgen noch mal an ... Wink

Wink

08.06.2011, 19:54

mYthos

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y' = 2x stimmt sicher NICHT!

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x^3 + 2}{x^3} \end{eqnarray*}$

sieht zutreffender aus.

mY+

09.06.2011, 08:27

wollmaus

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@ mY+: Stimmt natürlich.
Ich habe im letzten post vergessen meine Korrektur einzugeben.
SORRY - ich wollte das natürlich nicht so stehen lassen.

Ich habe mir jetzt auch noch die Einzelbruchvariante angeschaut und bin da auf folgendes gekommen ...
$\begin{eqnarray*} y=\frac{x^3}{x^2}-\frac{1}{x^2} = x-x^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'=1+2x^{-3}=1+\frac{2}{x^3}=\frac{x^3+2}{x^3} \end{eqnarray*}$

Müsste wohl stimmen, da gleiches Ergebnis ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.06.2011, 11:57

mYthos

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So ist es in Ordnung. Auch die Bruchregel führt - nach Zusammenfassung, Ausklammern und Kürzen - selbstverständlich zum selben Resultat.

mY+

09.06.2011, 12:28

wollmaus

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Danke nochmal.
Wink

Wink

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