Kern und Bild einer linearen Abbildung

08.06.2011, 23:17

juli84

Kern und Bild einer linearen Abbildung

Hallo!

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Die Aufgabenstellung ist folgende:

Bestimme den Kern und das Bild (inkl. der Dimension) der folgenden linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^4 -> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ^4:

$\begin{eqnarray*} {x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} {x_{1} + 2x_{2}, 3x_{2} + 4x_{4} , x_{1} - x_{2} - 4x_{4}, x_{1} - x_{2} - x_{3} + 3x_{4}} \end{eqnarray*}$

So zum Kern erstmal:

Man erhält vier Gleichungen:

I. $\begin{eqnarray*} x_{1} + 2x_{2}=0 \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} 3x_{2} + 4x_{4}=0 \end{eqnarray*}$
III. $\begin{eqnarray*} x_{1} - x_{2} - 4x_{4}=0 \end{eqnarray*}$
IV. $\begin{eqnarray*} x_{1} - x_{2} - x_{3} + 3x_{4}=0 \end{eqnarray*}$

Die formt man um und dann erhält man vier Gleichungen mit vier Variablen:

I. $\begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}=0 \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} x_{4}+(3/4)x_{2}=0 \end{eqnarray*}$
III. 0=0
IV. $\begin{eqnarray*} -(21/4)x_{2}-x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Da die III. wegfällt, hat man nur noch drei Gleichungen mit vier Variablen, also:

I. $\begin{eqnarray*} x_{1}+2x_{2}=0 \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} x_{4}+(3/4)x_{2}=0 \end{eqnarray*}$
III. $\begin{eqnarray*} -(21/4)x_{2}-x_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Da man drei Gleichungen mit vier Variablen hat, kann man z.B. $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ frei wählen als $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ =1. Dann erhält man:

I. $\begin{eqnarray*} 1+2x_{2}=0 \end{eqnarray*}$ |-1
$\begin{eqnarray*} 2x_{2}=-1 \end{eqnarray*}$ |:2
$\begin{eqnarray*} x_{2}=(-(1/2)) \end{eqnarray*}$

II. $\begin{eqnarray*} x_{4}+(3/4)*(-(1/2))=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{4}-(3/8)=0 \end{eqnarray*}$ |+(3/8)
$\begin{eqnarray*} x_{4}=(3/8) \end{eqnarray*}$

III. $\begin{eqnarray*} (-(21/4))*(-(1/2))-x_{3}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (21/8)-x_{3}=0 \end{eqnarray*}$ |+x_{3}
$\begin{eqnarray*} (21/8)=x_{3} \end{eqnarray*}$

Also:
Kern(A)=< $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ (21/8) \\ (3/8) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ >

Soweit müsste das richtig sein.

Beim Bild komme ich aber überhaupt nicht weiter.
Habe bisher die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & 0 & 4 \\ 1 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

umgewandelt. Diese hat jetzt den Rang 3, da die letzte Zeile eine Nullzeile ist. Und nun???

08.06.2011, 23:21

tigerbine

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Tipp:
[Artikel] Basis, Bild und Kern

08.06.2011, 23:24

juli84

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Zitat:

[Artikel] Basis, Bild und Kern

Meinst du das, was unter "Die transportierte Matrix" steht? Wäre also der span von diesen Vektoren das Bild?
Was meinen die in der Aufgabenstellung mit der Dimension...
Die Dimensionformel ist ja:

dimv=dim kern + dim bild

Aber wie kriege ich denn die Dimension vom Kern und Bild raus? Das ist bestimmt voll einfach. -.- Nur ich bin zu blöd.

08.06.2011, 23:25

tigerbine

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Lies doch erst mal den Artikel in Ruhe. Da steht doch alles drin. Und Dimension = Länge der Basis =Anzahl der Basisvektoren

08.06.2011, 23:28

juli84

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Ja, ich hab ihn ja schon gelesen gehabt... Meine Vermutung ist eben, dass das, was unter Beispiel 1 bei "transportierte Matrix" steht das Bild der Matrix wäre... Kann ich das auch so auf meine Aufgabe anwenden?

08.06.2011, 23:30

tigerbine

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Ja, daher steht unten auch Im(age). Augenzwinkern